Matura CKE Czerwiec 2015 – Fizyka Rozszerzona

Uczniowie położyli na krawędzi stołu łańcuszek o bardzo drobnych ogniwach w ten sposób, że wyprostowana, prostopadła do krawędzi stołu część łańcuszka spoczywała na jego powierzchni, a pozostała część zwisała pionowo za jego krawędzią (patrz rysunek). Cały łańcuszek miał długość $30 \text{cm}$. Uczniowie, zsuwając bardzo powoli coraz większą część łańcuszka poza krawędź stołu, doprowadzili do sytuacji, w której łańcuszek zaczął się sam zsuwać ze stołu. Zauważyli, że nastąpiło to, gdy część zwisająca z krawędzi stołu osiągnęła około $1/3$ długości całego łańcuszka.

Na obrotowym krzesełku usiadł uczeń, trzymając w wyciągniętych poziomo rękach dwie hantle (ciężarki gimnastyczne) o masie $2{,}0 \text{kg}$ każda. Krzesełko zostało wprawione w ruch obrotowy. Hantle znajdowały się początkowo w odległości $70 \text{cm}$ od osi obrotu (rysunek 1).
W pewnym momencie uczeń przyciągnął hantle do siebie tak, że ich odległości od osi obrotu zmalały do $10 \text{cm}$ (rysunek 2). Moment bezwładności krzesełka i ucznia z wyciągniętymi rękoma bez hantli wynosił $8{,}2 \text{kg}\cdot\text{m}^2$, a po przyciągnięciu rąk ten moment bezwładności stał się równy $7{,}1 \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Rozmiary hantli oraz działanie sił zewnętrznych (np. oporów ruchu) na krzesełko z uczniem należy pominąć.

Wiązka protonów o prędkościach $\vec{v}$ jednakowych co do kierunku, ale różnych co do wartości wchodzi w obszar jednorodnych pól elektrycznego $\vec{E}$ i magnetycznego $\vec{B}$, przy czym wektory $\vec{v}$, $\vec{E}$ i $\vec{B}$ są wzajemnie do siebie prostopadłe (rys. poniżej), a wektor $\vec{B}$ ma zwrot przed płaszczyznę rysunku. Protony o pewnej prędkości biegną przez obszar pól prostoliniowo i przechodzą przez szczelinę, podczas gdy szybsze i powolniejsze ulegają odchyleniu. Siłę grawitacji działającą na protony należy pominąć.

W obwodzie przedstawionym na rysunku napięcie baterii wynosi $12 \text{V}$. Dane są też opory $R_3 = 20 \Omega$ i $R_4 = 25 \Omega$. Amperomierz wskazuje $0{,}2 \text{A}$, a woltomierz $4 \text{V}$.

Zadanie 5. (0–2)
Plastikową butelkę napełniono wodą o temperaturze pokojowej i umieszczono w zamrażarce lodówki. Po pewnym czasie woda zamarzła. Gęstość lodu jest mniejsza niż gęstość wody.
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli zdanie jest fałszywe.

1.	Podczas krzepnięcia temperatura wody się nie zmienia.	P	F
2.	Gdy maleje temperatura wody w naczyniu, średnia prędkość cząsteczek wody maleje.	P	F
3.	Podczas krzepnięcia nie zmienia się energia wewnętrzna wody.	P	F
4.	Podczas krzepnięcia woda w naczyniu wykonuje pracę przeciw sile parcia powietrza.	P	F

Zadanie 6. (0–3)
W naczyniu znajduje się $1 \text{kg}$ zimnej wody, a w niej zanurzone są elektroniczne termometry 1. i 2. W innym naczyniu znajduje się gorąca woda. Oba naczynia są lekkie, zamknięte i dobrze izolowane termicznie od otoczenia.
Termometr 1. przełożono do naczynia z gorącą wodą i po kilkunastu sekundach przelano wodę gorącą do naczynia z zimną, jednocześnie przekładając termometr 1. z powrotem.
Oblicz masę wody gorącej, korzystając z poniższego wykresu zależności temperatury od czasu dla obu termometrów.

W październiku 2009 r. w Wołgogradzie otwarto bardzo długi most na Wołdze. Wkrótce okazało się, że niewielkie podmuchy wiatru wystarczyły, żeby wprowadzić most w silne drgania. Obserwowano wówczas tak intensywne falowanie jezdni (zob. fotografia obok), że jazda po niej mogła być niebezpieczna. Gdy amplituda drgań elementów konstrukcji mostu wyniosła blisko $0{,}5 \text{m}$, most na pewien czas zamknięto. Zaobserwowano drgania o częstotliwościach $0{,}57 \text{Hz}$, $0{,}45 \text{Hz}$ oraz $0{,}68 \text{Hz}$.

Informacja do zadań 8.3.–8.4.
Przebieg zmian napięcia na zwojnicy podczas jazdy rowerem przedstawiono na poniższym wykresie.

W celu uzyskania energii elektrycznej do zasilania przedniego i tylnego oświetlenia roweru uczniowie zbudowali układ doświadczalny składający się z 24 małych i silnych magnesów przymocowanych do szprych oraz z nieruchomej zwojnicy nawiniętej na stalowym rdzeniu, zamocowanej tak jak na rysunku. Magnesy są ustawione jednakowo (wszystkie bieguny N w tę samą stronę). Podczas jazdy magnesy poruszają się względem zwojnicy i powodują pojawienie się napięcia między końcami uzwojenia.

W celu wyznaczenia ogniskowej soczewki skupiającej uczniowie wykorzystali ławę optyczną, na której ustawili przedmiot i ekran, a między nimi – badaną soczewkę, której położenie mogli zmieniać. Dobierali odpowiednie położenie soczewki, aż otrzymali ostry obraz przedmiotu na ekranie.
Do obliczenia ogniskowej soczewki jeden z uczniów zaproponował wykorzystanie równania
$$x^2 - l\cdot x + f\cdot l = 0$$
w którym $x$ jest odległością przedmiotu od soczewki, $l$ – odległością przedmiotu od ekranu, a $f$ – ogniskową soczewki.

Na początku XX wieku naukowcy przeprowadzali liczne eksperymenty z zastosowaniem wiązek naładowanych cząstek o wysokiej energii. Pierwszym źródłem takich cząstek były substancje promieniotwórcze. Wysyłają one m.in. cząstki alfa o energiach do $6 \text{MeV}$, które wykorzystywane były w pierwszych sztucznych reakcjach jądrowych. Jednak źródła tego typu były bardzo drogie, nie dało się nimi łatwo sterować, a poza tym wytwarzane cząstki miały za niską energię do przeprowadzenia wielu doświadczeń. Naukowcy potrzebowali nowego sposobu uzyskiwania wysokoenergetycznych cząstek.
W roku 1932 naukowcy J.D. Cockcroft i E.T. Walton zbudowali urządzenie, dzięki któremu mogli przyśpieszać naładowane cząstki. Urządzenie zawierało pojemnik z gazowym wodorem. Wodór ostrzeliwany był elektronami, które powodowały jego jonizację. Powstawały swobodne protony, które następnie były przyśpieszane napięciem $0{,}15 \text{MV}$. Rozpędzone protony padały na cienką folię z litu $^7\text{Li}$ i powodowały emisję cząstek alfa (patrz rysunek na następnej stronie). Każda z tych cząstek alfa uzyskiwała energię $8{,}6 \text{MeV}$.
Na podstawie: http://library.thinkquest.org

Przyjmijmy, że rozkład masy w galaktyce jest sferycznie symetryczny, tzn. gęstość zależy tylko od odległości od środka galaktyki. W takim przypadku można wykazać, że na gwiazdę krążącą po orbicie kołowej wokół środka galaktyki (zob. ilustracja obok) działa tylko siła grawitacji pochodząca od materii zawartej wewnątrz sfery zawierającej orbitę gwiazdy i taka, jakby cała ta materia była skupiona w środku tej sfery.
Prędkość $v$ ciała 1 (np. gwiazdy) krążącego po orbicie kołowej wokół ciała 2 (np. jądra galaktyki) jest zależna od masy $M$ ciała 2 i od odległości $r$ między ciałami. Zależność ta wyraża się wzorem $GM = v^2r$, gdzie $G$ jest stałą grawitacji.

Informacja do zadań 11.3 i 11.4
Analizując rozkład masy w galaktyce na podstawie widocznych obiektów, możemy na podstawie podanego wzoru obliczyć prędkość $v$ gwiazdy krążącej wokół jądra galaktyki po orbicie kołowej o promieniu $r$. Dla galaktyki M 33 otrzymano w ten sposób wykres zależności $v$ od $r$ – jeden z dwóch oznaczonych niżej jako 1 i 2. Drugi z wykresów przedstawia wyniki pomiarów prędkości gwiazd (wartości rzeczywiste).
Na podstawie: E. Corbelli i P. Salucci, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
Rozbieżność między tymi dwoma wykresami jest uważana za dowód istnienia w galaktyce M 33 tzw. ciemnej materii – materii, której nie widzimy, ale która wpływa na ruch gwiazd, wywierając na nie siłę przyciągania.