Matura CKE Styczeń 2019 – Fizyka Rozszerzona

Dwa statki poruszają się po spokojnym jeziorze ruchem jednostajnym prostoliniowym. W układzie współrzędnych $x, y$ związanym z brzegiem jeziora współrzędne położenia statków w chwili początkowej to $P_1 = (0\text{ km}, 0\text{ km})$ i $P_2 = (0\text{ km}, 10\text{ km})$. Wektor prędkości $\vec{v}_1$ pierwszego statku ma składowe $v_{1x} = 8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ i $v_{1y} = 4\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Wektor prędkości drugiego statku ma tylko jedną niezerową składową $v_{2x} = 8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Do leżącego na stole klocka o masie $m = 0{,}1\text{ kg}$ przyczepiono sprężynkę o stałej sprężystości $k = 2\text{ }\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Następnie sprężynkę bardzo powoli rozciągano, przesuwając poziomo jej koniec. Gdy sprężynka została rozciągnięta o $\Delta x = 20\text{ cm}$, klocek ruszył z pewnym przyspieszeniem. W tej samej chwili zaprzestano przesuwania wolnego końca sprężynki. Wprawiony w ruch klocek zatrzymał się po przebyciu drogi $s = \Delta x$, czyli wtedy, kiedy sprężynka nie była już rozciągnięta. Przyjmij, że podczas ruchu klocka działa stała siła tarcia kinetycznego.

W cylindrycznym zbiorniku zamontowano zawór oraz ruchomy tłok.

Uczniowie wyznaczali gęstość szklanej kulki za pomocą wagi, naczynia i wody o gęstości $1\text{ }\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Wykonali cztery ważenia, jak na rysunku (podczas pomiarów I i II woda wypełniała naczynie po brzegi).
Wykorzystaj informacje, które można odczytać z rysunku, i oblicz gęstość szklanej kulki.

Obwód zawiera pięć oporników połączonych tak, jak na schemacie. Punkty A i B połączono ze źródłem napięcia.

Załóżmy, że w odległości $1{,}8\text{ mln km}$ od Ziemi dostrzeżono niewielkie ciało (meteoroid) poruszające się z prędkością o wartości $5\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ $\left(18\text{ }000\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\right)$, skierowaną w stronę Ziemi. Przyjmij, że w tej odległości od Ziemi grawitacyjna energia potencjalna ciała jest równa zero, a oddziaływanie innych ciał niebieskich można pominąć.

Dwa kondensatory naładowane do takiego samego napięcia rozładowano przez taki sam duży opór. Na wykresie przedstawiono zmiany napięcia na kondensatorach w czasie ich rozładowywania.Zależność napięcia na kondensatorze od czasu opisuje wzór $U(t) = U_0 \cdot e^{-\dfrac{t}{\tau}}$.
Wielkość $\tau = R \cdot C$ jest nazywana stałą czasową obwodu ($R$ – opór obwodu, $C$ − pojemność kondensatora), $e$ to liczba wynosząca około $2{,}718$.

Popularna zabawka zwana spinnerem może być zbudowana z czterech łożysk połączonych ze sobą sztywno, jak na rysunku. Można przyjąć, że pojedyncze łożysko o masie $m$ i promieniu $R$ ma względem swojej osi moment bezwładności $I = m \cdot R^2$. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy bryły jest równy sumie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy bryły oraz wyrażenia będącego iloczynem masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami $I = I_s + m \cdot d^2$.
Oblicz moment bezwładności spinnera względem osi środkowego łożyska.

Na rysunku przedstawiono sposób działania cyklotronu. Jest to urządzenie służące do przyspieszania cząstek naładowanych, np. jonów. Dzięki zastosowaniu pola magnetycznego skierowanego prostopadle do płaszczyzny rysunku (symbol oznacza, że zwrot wektora indukcji jest skierowany do patrzącego) jon krąży w cyklotronie po torze składającym się z szeregu półokręgów. W szczelinie między duantami jony są przyspieszane polem elektrycznym skierowanym wzdłuż ich toru (na rysunku niżej – pionowo), przy czym napięcie między duantami jest równe $U$ (znak napięcia $U$ po każdym przejściu jest zmieniany na przeciwny). Wskutek tego przyspieszania przy każdym przejściu przez szczelinę energia kinetyczna jonu zwiększa się o $q \cdot U$, a promień zakreślanego półokręgu jest coraz większy.
Jeżeli jon o masie $m$ i ładunku $q$ porusza się w cyklotronie z prędkością $v$ w jednorodnym i stałym w czasie polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$, to promień zakreślanego okręgu wyraża wzór $R = \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}$.

Na rysunku przedstawiono fragment widma promieniowania atomu wodoru zawierający po cztery pierwsze linie dwóch sąsiednich serii widmowych, z których jedna – seria Balmera – leży w obszarze widzialnym widma.

Na schematycznym rysunku przedstawiono atom. W jądrze czarnymi kółkami oznaczono jeden rodzaj nukleonów (protony lub neutrony), a białymi – drugi rodzaj.
Zaznacz poprawne dokończenie zdania.
Jądrem atomu jest

Wśród $^{86}_{36}\text{X}$, $^{86}_{38}\text{X}$ oraz $^{88}_{38}\text{X}$ znajdują się dwa izotopy pewnego pierwiastka.
Zapisz, jaki to pierwiastek.
..................

Małe źródło światła umieszczono w ognisku soczewki rozpraszającej, w odległości $8\text{ cm}$ przed tą soczewką.
a) Ustal, w jakiej odległości od soczewki powstanie obraz źródła.

b) Narysuj dalszy bieg promienia przedstawionego na rysunku.

Światło biegnie w powietrzu i pada pod kątem $45^\circ$ na powierzchnię bloku szkła o współczynniku załamania $1{,}414$ (jak na rysunku).

TAJEMNICZA CIEMNA MATERIA
[...] Innymi obiektami, bardzo ważnymi w kontekście ciemnej materii, są galaktyki spiralne. Widoczna w nich materia (gwiazdy, gaz, pył) rotuje w płaszczyźnie dysku wokół centrum galaktyki. Galaktyki takie przez teleskop widziane są jako płaskie, cienkie obiekty o pięknej, spiralnej strukturze. Można zmierzyć prędkość rotacji materii w galaktyce (wykorzystując efekt Dopplera) i sporządzić wykres zależności tej prędkości od odległości od centrum galaktyki. Wykres zależności jest krzywą rotacji galaktyki, bardzo ważną dla badania jej dynamiki.
W 1970 roku astronomowie Vera Rubin oraz W. Kent Ford zaobserwowali, że krzywa rotacji galaktyki spiralnej M31 jest w przybliżeniu płaska. Późniejsze obserwacje wykazały, że galaktyk o płaskiej krzywej rotacji jest więcej. Dlaczego było to ważne i zaskakujące? Ponieważ, obserwując galaktyki spiralne, widzimy, że ich obszary centralne są bardzo jasne w porównaniu z obszarami znajdującymi się nieco dalej od centrum. To sugeruje, że materia w tych galaktykach powinna być skupiona w centrum, a w związku z tym materia w zewnętrznych obszarach powinna poruszać się w przybliżeniu tak, jakby znajdowała się już poza masą wytwarzającą pole grawitacyjne. Powinna więc mieć krzywą rotacji, w której prędkość zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości od centrum galaktyk, czyli jest keplerowska. Natomiast płaska krzywa rotacji, czyli taka, w której prędkość nie zmienia się wraz z promieniem, sugerowała, że w galaktykach spiralnych powinna znajdować się materia nieświecąca – szczególnie dużo powinno być jej w zewnętrznych częściach tych galaktyk.
Rys. Schematyczne przedstawienie krzywych rotacji: B – krzywa rotacji płaska, obserwowana dla wielu galaktyk spiralnych; A – krzywa rotacji keplerowska, taka, jakiej oczekiwano na podstawie obserwacji jasności galaktyk
Joanna Jałocha, Tajemnicza ciemna materia, „Neutrino” 31/2015