Materiały diagnostyczne OKE Łomża Czerwiec 2012 – Matematyka Podstawowa

Liczba $x = \left(\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}\right) \cdot 12$. Wtedy

Równanie $5x(x^2 + 1) + 4(x^2 + 1) = 0$ ma dokładnie

Liczba $x = 4 + \log_3 2$. Wtedy

Wyrażenie algebraiczne $\dfrac{9x^2 - 16}{(3x - 4)^2}$ można zapisać w postaci

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\dfrac{x - 5}{x^2 - x}$ jest

Prosta $l$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $P = (3, -5)$ i jest równoległa do osi $Oy$. Prosta $l$ ma równanie

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ siódmy wyraz $a_7 = -2$. Suma trzynastu pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ (patrz rysunek). W trójkącie tym $\text{tg}\alpha$ jest równy

Dany jest trójkąt $ABC$. Długości boków tego trójkąta są równe $6\text{ cm}, 9\text{ cm}, 12\text{ cm}$. Trójkąt $ABC$ jest podobny do trójkąta $A'B'C'$, którego obwód jest równy $18\text{ cm}$. Długości boków trójkąta $A'B'C'$ to

Prosta $l$ ma równanie $2x - 3y + 4 = 0$. Równanie prostej prostopadłej do prostej $l$ ma postać

W marcu na dodatkowe zajęcia z matematyki uczęszczało $80\%$ zapisanych na listę osób, natomiast w kwietniu tylko $68\%$ zapisanych osób. O ile procent zmalała frekwencja na zajęciach?

Maksymalny przedział, którym funkcja $y = -\dfrac{1}{3}(x + 3)^2 - 2$ jest malejąca to

Dana jest prosta $l$ o równaniu $y - 6 = 0$ i okrąg o równaniu $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Ile punktów wspólnych ma z danym okręgiem prosta $l$?

Dany jest równoległobok $ABCD$, w którym bok $BC$ jest dwa razy krótszy od boku $AB$. Punkt $P$ jest środkiem boku $DC$. Punkt $P$ połączono z wierzchołkami $A$ i $B$ tego równoległoboku. Wykaż, że kąt $APB$ jest kątem prostym.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Pole trójkąta równobocznego jest równe $18\sqrt{3}$. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym cosinus kąta ostrego jest trzy razy większy od sinusa tego samego kąta. Oblicz sinus tego kąta.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu $(a_n)$ oraz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Punkty $A = (-4, 5)$ i $B = (4, 1)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$. Punkt $M = (3, 5)$ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. Znajdź równania prostych zawierających boki $AC$ i $BC$ tego trójkąta.

Z dwóch miejscowości $A$ i $B$ oddalonych od siebie o $28\text{ km}$ wyjechali rowerami naprzeciw siebie Kasia i Tomek. Kasia wyruszyła $20$ minut wcześniej niż Tomek i jechała z prędkością o $7\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ mniejszą od prędkości z jaką jechał Tomek. Spotkali się w połowie drogi. Oblicz z jakimi średnimi prędkościami jechali do miejsca spotkania.