Matura CKE Czerwiec 2018 – Matematyka Podstawowa

Dla $x = \dfrac{2}{\sqrt{2}} + 1$ oraz $y = \sqrt{2} - 1$ wartość wyrażenia $x^2 - 2xy + y^2$ jest równa

Dane są liczby: $a = \log_{\dfrac{1}{2}} 8$, $b = \log_{4} 8$, $c = \log_{4} \dfrac{1}{2}$. Liczby te spełniają warunek

Wskaż liczbę spełniającą nierówność $(4 - x)(x + 3)(x + 4) > 0$.

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o $10\%$ w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje $1944$ złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

Na rysunku przedstawiony jest przedział $(-10, k\rangle$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa $21$.
Stąd wynika, że

Równanie $x - \dfrac{1}{2x + 1} = 0$

Liczbę $\dfrac{224}{1111}$ można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Liczba $\dfrac{8^{20} - 2 \cdot 4^{20}}{2^{20} \cdot 4^{10}}$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -2(x + 2)^{-1}(x - 3)^2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq -2. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $2$ jest równa

Największą wartością funkcji $y = -(x - 2)^2 + 4$ w przedziale $\langle 3, 5 \rangle$ jest

Funkcja liniowa $f(x) = (1 - m^2)x + m - 1$ nie ma miejsc zerowych dla

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f(x) = -(x - 1)(3 - x)$. Wskaż ten rysunek.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n \geq 1$ są dodatnie i $3a_2 = 2a_3$. Stąd wynika, że iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 16 - \dfrac{1}{2} \cdot n$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$. Różnica $r$ tego ciągu jest równa

Liczba $1 - \operatorname{tg} 40^\circ$ jest

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $O$ i promieniu $r$. Na tym okręgu wybrano punkt $C$, taki, że $|OB| = |BC|$ (zobacz rysunek).
Pole trójkąta $AOC$ jest równe

Okrąg o środku $S_1 = (2, 1)$ i promieniu $r$ oraz okrąg o środku $S_2 = (5, 5)$ i promieniu $4$ są styczne zewnętrznie. Wtedy

Długości boków trapezu równoramiennego są równe $12$, $13$, $2$, $13$.
Wysokość $h$ tego trapezu jest równa

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku $2 : 3 : 3 : 4$. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa $27\pi$. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Stożek o promieniu podstawy $r$ i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

Wśród $100$ osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba osób	$23$	$14$	$28$	$17$	$11$	$7$

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku $15$. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry $0$ i $2$, jest równa

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

Rozwiąż nierówność $2x(1 - x) + 1 - x < 0$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = x^2 + bx + c$ jest parabola, na której leży punkt $A = (0, -5)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 7$. Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez $8$ jest równa $6$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest prostokąt $ABCD$. Na boku $CD$ tego prostokąta wybrano taki punkt $E$, że $|EC| = 2|DE|$, a na boku $AB$ wybrano taki punkt $F$, że $|BF| = |DE|$. Niech $P$ oznacza punkt przecięcia prostej $EF$ z prostą $BC$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąty $AED$ i $FPB$ są przystające.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg} \alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od $0$ do $4$) i liczbę uzyskanych reszek (również od $0$ do $4$). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H = 16$. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy $\dfrac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n \geq 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S_{10} = \dfrac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Punkty $A = (-1, 1)$ i $C = (1, 9)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Podstawa $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.