Matura CKE Grudzień 2013 – Matematyka Podstawowa

Liczba $15$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy $0{,}24$. Liczba $x$ to

Punkty $E = (7, 1)$ i $F = (9, 7)$ to środki boków, odpowiednio $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$. Przekątna tego kwadratu ma długość

Liczba $\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2$ jest równa

Liczba $3^{\dfrac{9}{4}}$ jest równa

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f(x) = 3^x$ przyjmuje wartość $6$ dla argumentu

Wyrażenie $16 - (3x+1)^2$ jest równe

Wskaż równość prawdziwą.

Zbiorem rozwiązań nierówności $\dfrac{2 - x}{3} - \dfrac{2x - 1}{2} < x$ jest przedział

W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta?

Reszta z dzielenia liczby $55$ przez $8$ jest równa

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od $1$ jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb: $f(42)$, $f(44)$, $f(45)$, $f(48)$ największa to

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$.
Kątem między krawędzią $CS$ a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa jest kąt

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku $W = (5, 7)$. Wówczas prawdziwa jest równość

Jeżeli kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{3}{4}$, to $\dfrac{2 - \cos\alpha}{2 + \cos\alpha}$ równa się

Równanie $(2x - 1) \cdot (x - 2) = (1 - 2x) \cdot (x + 2)$ ma dwa rozwiązania. Są to liczby

Dane jest równanie $3x + 4y - 5 = 0$. Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?

W trójkącie, przedstawionym na rysunku poniżej, sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy

Tworząca stożka ma długość $l$, a promień jego podstawy jest równy $r$ (zobacz rysunek).
Powierzchnia boczna tego stożka jest $2$ razy większa od pola jego podstawy. Wówczas

Dane są dwa okręgi o promieniach $10$ i $15$. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa

Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy $3$, a ostatni wyraz jest równy $12$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (n + 3)(n - 5)$ dla $n \ge 1$. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech $p_i$ oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez $i$. Wtedy

Zbiorem rozwiązań nierówności $ax + 4 \ge 0$ z niewiadomą $x$ jest przedział $(-\infty, 2\rangle$. Wyznacz $a$.

Rozwiąż równanie $\dfrac{x(x + 1)}{x - 1} = 5x - 4$, dla $x$
eq 1.

Kwadrat $K_1$ ma bok długości $a$. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty $K_2$, $K_3$, $K_4$, ... takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek).
Wyznacz pole kwadratu $K_{12}$.

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość $10$ i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Uzasadnij, że liczba $4^{12} + 4^{13} + 4^{14}$ jest podzielna przez $42$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na trójkącie o bokach długości $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{15}$ opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Proste $l$ i $k$ przecinają się w punkcie $A = (0, 4)$. Prosta $l$ wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu $8$, zaś prosta $k$ – trójkąt o polu $10$. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt $A$ oraz punkty przecięcia prostych $l$ i $k$ z osią $Ox$.

Ala jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała do szkoły o godzinie 7:00 i pokonała całą drogę w ciągu $40$ minut. Ola wyjechała $10$ minut później niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko $20$ minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziła Alę.

Dane są wierzchołki trójkąta $ABC$: $A = (2, 2)$, $B = (9, 5)$ i $C = (3, 9)$. Z wierzchołka $C$ poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $D$ i równoległej do boku $BC$.

Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi $2$ cm. Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi $8$ cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę – graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.