Matura CKE Maj 2002 – Matematyka Podstawowa

Dana jest prosta $l$ o równaniu $y = \dfrac{3}{2}x - \sqrt{2}$ oraz punkt $A = (-3, -2)$. Wykres funkcji liniowej $f$ jest prostopadły do prostej $l$, punkt $A$ należy do wykresu funkcji $f$.
Wyznacz:
a) wzór funkcji $f$,
b) miejsce zerowe funkcji $f$.

Dany jest wektor $\vec{AB} = [-3, 4]$ oraz punkt $A = (1, -2)$.
Oblicz:
a) współrzędne punktu $B$,
b) współrzędne i długość wektora $\vec{v} = -2 \cdot \vec{AB}$.

W klasie liczącej $30$ uczniów, dziewięciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca klasy otrzymał $4$ bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.

W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:

Ocena	1	2	3	4	5	6
Liczba uczniów	10	30	80	30	25	5

a) Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.
b) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.

Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu $13$ dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała $28$ stron a w ostatnim $68$?

Jeżeli $x_1=2$, $x_2=3$ i $x_3=-1$ są miejscami zerowymi wielomianu $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, gdzie $a$
eq 0 oraz $W(4) = 2$, to współczynnik $a$ można wyznaczyć postępując w następujący sposób:
Wielomian $W$ zapisujemy w postaci iloczynowej: $W(x) = a(x - 2)(x - 3)(x + 1)$
i wykorzystując warunek $W(4) = 2$ otrzymujemy równanie: $2 = a(4 - 2)(4 - 3)(4 + 1)$,
stąd $a = \dfrac{1}{5}$.
Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik $a$ wielomianu $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, wiedząc, że jego miejsca zerowe to $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ oraz $W(-1) = 3$.

Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano $30\%$ zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o $60$ złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało $270$ złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.

Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx - 3$, gdzie $b > 0$ posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy $(-3)$. Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą $(-4)$, wyznacz:
a) współczynniki $a$ i $b$,
b) miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali $1:1500$, jest równa $12$ cm i jeden z kątów ma miarę $120^{\circ}$. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości $40$ arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.

Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa $4$ dm i wysokość ma długość $\dfrac{18}{\pi}$ dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $4\sqrt{3}$ dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.