Matura CKE Maj 2005 – Matematyka Podstawowa

W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?
Wykonaj odpowiednie obliczenia.

Dany jest ciąg $(a_n)$, gdzie $a_n = \dfrac{n+2}{3n+1}$ dla $n = 1, 2, 3...$. Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od $\dfrac{1}{2}$.

Dany jest wielomian $W(x) = x^3 + kx^2 - 4$.
a) Wyznacz współczynnik $k$ tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian $x + 2$.
b) Dla wyznaczonej wartości $k$ rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki.

Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.

Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?

Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
$A = \{ x : |x+2| < 3 \}$
$B = \{ x : (2x-1)^3 \leq 8x^3 - 13x^2 + 6x + 3 \}$
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory $A$, $B$, $A \cap B$ oraz $B - A$.

W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.

Czas (w godzinach)	$1$	$2$	$3$	$4$
Liczba uczniów	$5$	$10$	$15$	$10$

a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu.
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań domowych.
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta $ABCD$ (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm. Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 procenta.

Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości $h$ i tworzą kąt o mierze $2\alpha$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.