Matura CKE Maj 2012 – Matematyka Podstawowa

Cenę nart obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze $30\%$. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o

Liczba $\sqrt[3]{(-8)^{-1}} \cdot 16^{\dfrac{3}{4}}$ jest równa

Liczba $(3-\sqrt{2})^2 + 4(2-\sqrt{2})$ jest równa

Iloczyn $2 \cdot \log_{\dfrac{1}{3}} 9$ jest równy

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $|3x+1|=4x$.

Liczby $x_1, x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $2x^2+3x-7=0$. Suma $x_1+x_2$ jest równa

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $y = -3(x-7)(x+2)$ są

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax+6$, gdzie $a > 0$. Wówczas spełniony jest warunek

Wskaż wykres funkcji, która w przedziale $\langle -4, 4 \rangle$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Liczba $\operatorname{tg} 30^{\circ} - \sin 30^{\circ}$ jest równa

W trójkącie prostokątnym $ABC$ odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną i $|AB|=13$ oraz $|BC|=12$. Wówczas sinus kąta $ABC$ jest równy

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC|=|BC|=5$ oraz wysokość $|CD|=2$. Podstawa $AB$ tego trójkąta ma długość

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości $5$ i $7$. Obwód tego trójkąta jest równy

Odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe i $|AB|=5$, $|AC|=2$, $|CD|=7$ (zobacz rysunek).
Długość odcinka $AE$ jest równa

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $5$ jest równe

Punkty $A, B, C, D$ dzielą okrąg na $4$ równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego $ACD$ jest równa

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $20^{\circ}$. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = (-1)^n \cdot \dfrac{2-n}{n^2}$ dla $n \ge 1$. Wówczas wyraz $a_5$ tego ciągu jest równy

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe $4$. Objętość tego sześcianu jest równa

Tworząca stożka ma długość $4$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^{\circ}$. Wysokość tego stożka jest równa

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $3x-6y+7=0$.

Punkt $A$ ma współrzędne $(5, 2012)$. Punkt $B$ jest symetryczny do punktu $A$ względem osi $Ox$, a punkt $C$ jest symetryczny do punktu $B$ względem osi $Oy$. Punkt $C$ ma współrzędne

Na okręgu o równaniu $(x-2)^2 + (y+7)^2 = 4$ leży punkt

Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w $10$ kolorach, jest równa

Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa $500$ zł. Za pięć z tych akcji zapłacono $2300$ zł. Cena szóstej akcji jest równa

Rozwiąż nierówność $x^2 + 8x + 15 > 0$.

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają nierówności $0 < a < b < c$, to $\dfrac{a+b+c}{3} > \dfrac{a+b}{2}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Liczby $x_1 = -4$ i $x_2 = 3$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36$. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A = (-2, 2)$ i $B = (2, 10)$.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $A$ i $B$. Dwusieczne te przecinają się w punkcie $P$. Uzasadnij, że kąt $APB$ jest rozwarty.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez $6$.

Ciąg $(9, x, 19)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(x, 42, y, z)$ jest geometryczny. Oblicz $x, y$ oraz $z$.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDEFGH$ przekątna $AC$ podstawy ma długość $4$. Kąt $ACE$ jest równy $60^{\circ}$. Oblicz objętość ostrosłupa $ABCDE$ przedstawionego na poniższym rysunku.

Miasto $A$ i miasto $B$ łączy linia kolejowa długości $210$ km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o $24$ km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o $1$ godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.