Matura CKE Maj 2014 – Matematyka Podstawowa

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ.

Jeżeli liczba $78$ jest o $50\%$ większa od liczby $c$, to

Wartość wyrażenia $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} - \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$ jest równa

Suma $\log_8 16 + 1$ jest równa

Wspólnym pierwiastkiem równań $(x^2-1)(x-10)(x-5)=0$ oraz $\dfrac{2x-10}{x-1}=0$ jest liczba

Funkcja liniowa $f(x) = (m^2 - 4)x + 2$ jest malejąca, gdy

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.
Funkcja $f$ jest określona wzorem

Punkt $C = (0, 2)$ jest wierzchołkiem trapezu $ABCD$, którego podstawa $AB$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=2x-4$. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę $CD$.

Dla każdej liczby $x$, spełniającej warunek $-3 < x < 0$, wyrażenie $\dfrac{|x+3|-x+3}{x}$ jest równe

Pierwiastki $x_1$, $x_2$ równania $2(x+2)(x-2)=0$ spełniają warunek

Liczby $2, -1, -4$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla liczb naturalnych $n \ge 1$. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

Jeżeli trójkąty $ABC$ i $A'B'C'$ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe $25\text{ cm}^2$ i $50\text{ cm}^2$, to skala podobieństwa $\dfrac{A'B'}{AB}$ jest równa

Liczby: $x - 2, 6, 12$, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba $x$ jest równa

Jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\text{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}$, to wartość wyrażenia $\dfrac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha}$ jest równa

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4$ z osiami układu współrzędnych jest równa

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym $60^\circ$ i ramieniu długości $2\sqrt{3}$ jest równa

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa $\dfrac{4}{9}$ długości okręgu, ma miarę

O funkcji liniowej $f$ wiadomo, że $f(1)=2$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P = (-2, 3)$. Wzór funkcji $f$ to

Jeżeli ostrosłup ma $10$ krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest

Liczba $\left( \dfrac{1}{(\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2)^0} \right)^{-2}$ jest równa

Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $y = -2^{x-2}$, należy punkt

Jeżeli $A$ jest zdarzeniem losowym, a $A'$ – zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ oraz zachodzi równość $P(A) = 2 \cdot P(A')$, to

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród $10$ zawodników?

Mediana zestawu danych $2, 12, a, 10, 5, 3$ jest równa $7$. Wówczas

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x) = 2x^2 + bx + c$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $W = (4, 0)$. Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.

Rozwiąż równanie $9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$.

Udowodnij, że każda liczba całkowita $k$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem $y = \dfrac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 0.
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji $f$ są większe od $0$.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji $g$ określonej wzorem $g(x) = f(x - 3)$.

Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o $4$ lub $6$.

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że miara kąta wypukłego $ASB$ jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego $SBC$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $198$. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to $1 : 2 : 3$. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość $2{,}1\text{ km}$. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy $1$ godzinę i $4$ minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o $1\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Kąt $CAB$ trójkąta prostokątnego $ACB$ ma miarę $30^\circ$. Pole kwadratu $DEFG$, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek)
, jest równe $4$. Oblicz pole trójkąta $ACB$.