Matura CKE Maj 2019 – Matematyka Podstawowa

Liczba $\log_{\sqrt{2}} 2$ jest równa

Liczba naturalna $n = 2^{14} \cdot 5^{15}$ w zapisie dziesiętnym ma

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa $4\%$. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o $1$ punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

Równość $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{a} = 1$ jest prawdziwa dla

Para liczb $x = 2$ i $y = 2$ jest rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases} ax + y = 4 \ -2x + 3y = 2a \end{cases}$$ dla

Równanie $\dfrac{(x - 1)(x + 2)}{x - 3} = 0$

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3}$ jest liczba

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (2, -4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (2, -4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.
Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 1, 4\rangle$ jest równa

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (2, -4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, dane są dwa wyrazy: $a_1 = 7$ i $a_8 = -49$. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n \ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu jest równy

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\dfrac{4}{5}$. Wtedy

Punkty $D$ i $E$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ (zobacz rysunek).
Odcinek $CD$ jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany $DEB$ ma miarę $\alpha$.
Zatem

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).
Wtedy

Dany jest romb o boku długości $4$ i kącie rozwartym $150^\circ$. Pole tego rombu jest równe

Proste o równaniach $y = (2m + 2)x - 2019$ oraz $y = (3m - 3)x + 2019$ są równoległe, gdy

Prosta o równaniu $y = ax + b$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y = -4x + 1$ i przechodzi przez punkt $P = \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$, gdy

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Na wykresie tej funkcji leżą punkty $A = (0, 4)$ i $B = (2, 2)$.
Obrazem prostej $AB$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji $g$ określonej wzorem

Dane są punkty o współrzędnych $A = (-2, 5)$ oraz $B = (4, -1)$. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku $AB$ jest równa

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $5 \text{ dm} \times 3 \text{ dm} \times 2 \text{ dm}$ (zobacz rysunek).
Przekątna $KL$ tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do $0,01 \text{ dm}$ – równa

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe $4$. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

Mediana zestawu sześciu danych liczb: $4, 8, 21, a, 16, 25$, jest równa $14$. Zatem

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry $0, 2, 5$, jest

W pudełku jest $40$ kul. Wśród nich jest $35$ kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

Rozwiąż równanie $(x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0$.

Rozwiąż nierówność $3x^2 - 16x + 16 > 0$.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $4$ i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz długość przekątnej $BD$ tego trapezu.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r = -4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, jest równa $16$.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_k = -78$.

Dany jest punkt $A = (-18, 10)$. Prosta o równaniu $y = 3x$ jest symetralną odcinka $AB$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta $\alpha$.