Matura CKE Marzec 2012 – Matematyka Podstawowa

Liczbę $\sqrt{32}$ można przedstawić w postaci

Potęga $\left(\dfrac{y}{x}\right)^5$ (gdzie $x$ i $y$ są różne od zera) jest równa

Liczba $\log_3 \dfrac{1}{27}$ jest równa

Wyrażenie $||x| + 1|$ dla $x < 0$ jest równe

W pewnym sklepie ceny wszystkich płyt CD obniżono o $20\%$. Zatem za dwie płyty kupione w tym sklepie należy zapłacić mniej o

Wielomian $4x^2 - 100$ jest równy

Równanie $\dfrac{x^2 + 36}{x - 6} = 0$

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $(4+x)^2 < (x-4)(x+4)$ jest

Funkcja liniowa $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 6$

Liczby $x_1, x_2$ są rozwiązaniami równania $4(x+2)(x-6) = 0$. Suma $x_1^2 + x_2^2$ jest równa

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $y = f(x)$.
Zbiorem wartości tej funkcji jest

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: $\alpha = 27^\circ$ i $\beta = 63^\circ$. Wtedy $\dfrac{\cos \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha}$ równa się

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = -2n + 1$ dla $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ i $a_3 = -\dfrac{3}{2}$. Wtedy wyraz $a_1$ jest równy

Dane są punkty $A = (6, 1)$ i $B = (3, 3)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

Pole prostokąta jest równe $40$. Stosunek długości jego boków jest równy $2:5$. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $5$ i $12$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

Dane są dwa okręgi o promieniach $12$ i $17$. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $13$ i $15$ wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$.
Siatką ostrosłupa czworokątnego $ABCDE$ jest

Jeżeli $A$ jest zdarzeniem losowym oraz $A'$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ i $P(A) = 5 \cdot P(A')$, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

Rozwiąż nierówność $-3x^2 + 3x + 36 \ge 0$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x - b}{x - 9}$ dla $x$
eq 9. Ponadto wiemy, że $f(4) = -1$. Oblicz współczynnik $b$.

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości $6$ i $10$ oraz tangens kąta ostrego jest równy $3$. Oblicz pole tego trapezu.

Trójkąt $ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B, C, N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wybrano punkt $M$ tak, że $|AM| = |CN|$. Wykaż, że $|BM| = |MN|$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Liczby $64, x, 4$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ liczba $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ jest wielokrotnością liczby $10$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.

Oceny	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$
Liczba uczniów	$1$	$2$	$6$	$5$	$9$	$2$

Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o $1$ większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb $ABCD$ o boku długości $4$. Kąt $ABC$ rombu ma miarę $120^\circ$ oraz $|AS| = |CS| = 10$ i $|BS| = |DS|$. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi $BS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A = (2, 1)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Z dwóch miast $A$ i $B$, odległych od siebie o $18$ kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta $A$ o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta $B$. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta $B$ jeszcze $1{,}5$ godziny, drugi zaś szedł jeszcze $4$ godziny do miasta $A$.