Matura CKE Sierpień 2017 – Matematyka Podstawowa

Niech $a = -2$, $b = 3$. Wartość wyrażenia $a^b - b^a$ jest równa

Liczba $9^9 \cdot 81^2$ jest równa

Wartość wyrażenia $\log_4 8 + 5\log_4 2$ jest równa

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o $30\\%$. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

Liczba $(2\sqrt{7} - 5)^2 \cdot (2\sqrt{7} + 5)^2$ jest równa

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb $x$ spełniających warunek: $11 \le 2x - 7 \le 15$.

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ jest równy $60$. Jeden z boków tego prostokąta jest o $10$ dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x+1}{x+2} = 3$, gdzie $x$
eq -2, jest liczba należąca do przedziału

Linę o długości $100$ metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku $3 : 4 : 5$. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = x^2 + bx + c$.
Współczynniki $b$ i $c$ spełniają warunki:

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla $n \ge 1$, o którym wiemy, że: $a_1 = 2$ i $a_2 = 9$. Wtedy $a_n = 79$ dla

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: $(81, 3x, 4)$. Stąd wynika, że

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin \alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{7}$. Stąd wynika, że

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ i $C$ (zobacz rysunek).
Kąt $ABC$ ma miarę $121^\circ$, a kąt $BOC$ ma miarę $40^\circ$.
Kąt $AOB$ ma miarę

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AB$, a ponadto $|AE| = |DE| = 4$, $|AB| = 6$ (zobacz rysunek).
Odcinek $CE$ ma długość

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe $6\sqrt{3}$. Bok tego trójkąta ma długość

Punkty $B = (-2, 4)$ i $C = (5, 1)$ są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej $SA$ ostrosłupa do płaszczyzny podstawy $ABCD$ to

Graniastosłup ma $14$ wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Prosta $k$ przechodzi przez punkt $A = (4, -4)$ i jest prostopadła do osi $Ox$. Prosta $k$ ma równanie

Prosta $l$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^\circ$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -\sqrt{3})$ (zobacz rysunek).
Prosta $l$ ma równanie

Dany jest stożek o wysokości $6$ i tworzącej $3\sqrt{5}$. Objętość tego stożka jest równa

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ jest równa $9$. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż $2017$?

Z pudełka, w którym jest tylko $6$ kul białych i $n$ kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\dfrac{1}{3}$. Liczba kul czarnych jest równa

Rozwiąż nierówność $2x^2 + x - 6 \le 0$.

Rozwiąż równanie $(x^2 - 6)(3x + 2) = 0$.

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność
$4x + \dfrac{1}{x} \ge 4$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\measuredangle ACB| = 90^\circ$ i $|\measuredangle ABC| = 60^\circ$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD| : |DB| = 3 : 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ze zbioru liczb $\\{1, 2, 4, 5, 10\\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla $n \ge 1$, w którym spełniona jest równość $a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100$. Oblicz sumę $a_{25} + a_{26}$.

Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe $x_1 = -2$ i $x_2 = 6$. Wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $A = (1, -5)$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$.

Punkt $C = (0, 0)$ jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego $ABC$, którego wierzchołek $A$ leży na osi $Ox$, a wierzchołek $B$ na osi $Oy$ układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $C$ przecina przeciwprostokątną $AB$ w punkcie $D = (3, 4)$.
Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$ tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej $AB$.

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\measuredangle ACB| = 90^\circ$ (zobacz rysunek).
Stosunek długości przyprostokątnej $AC$ tego trójkąta do długości przyprostokątnej $BC$ jest równy $4 : 3$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, a długość odcinka $SC$ jest równa $5$. Pole ściany bocznej $BEFC$ graniastosłupa jest równe $48$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.