Przykładowy zestaw zadań CKE Marzec 2008 – Matematyka Podstawowa

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$.
a) Podaj dziedzinę funkcji $f$.
b) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji $f$.
c) Odczytaj wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = 5$.
d) Podaj zbiór wartości funkcji $f$.
e) Podaj maksymalny przedział o długości $3$, w którym funkcja $f$ jest rosnąca.
f) Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (2 - x)^2$.
a) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 0, 5 \rangle$.
b) Rozwiąż nierówność $f(x) - (2 - x) \geq 0$.

Suma dwóch liczb jest równa $\sqrt{7}$, a ich różnica $\sqrt{3}$. Oblicz iloczyn tych liczb.

W układzie współrzędnych są dane punkty $A = (-4, -2)$, $B = (5, 4)$.
a) Oblicz odległość punktu $C = (-1, 4)$ od prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$.
b) Uzasadnij, że jeśli $m$
eq 0, to punkty $A$, $B$ oraz punkt $D = (-1, m)$ są wierzchołkami trójkąta.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest wielomian $Q(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + d$.
a) Liczba $1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz $d$.
b) Dla $d = 2$ przedstaw wielomian $Q$ w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego.

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2^{32} - 32^2}{2^{16} + 32} \cdot x > 2^{10} - 2^{21}$. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość $24$, a kąty ostre $\alpha$ i $\beta$ są takie, że $\cos \alpha = \dfrac{3}{4}$ i $\operatorname{tg} \beta = \dfrac{4}{3}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{1}{4}(3n + 1)$ dla $n \geq 1$.
a) Sprawdź, którym wyrazem ciągu $(a_n)$ jest liczba $37\dfrac{3}{4}$.
b) Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ są wyrazy będące liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu $3$ i kącie środkowym $120^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz objętość tego stożka.

W równoległoboku o obwodzie równym $144$, wysokości $h_1$ i $h_2$ spełniają warunek $\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{3}{5}$. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Dane są zbiory liczb całkowitych: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ i $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Z każdego z tych zbiorów wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez $5$.