Test Diagnostyczny CKE Wrzesień 2022 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $2 \log_5 5 + 1 - \dfrac{1}{2}\log_5 625$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez $25$, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 1 wyrażenie $\dfrac{2}{x-1} - 5$ jest równe

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $9 - (x^2 - 2xy + y^2)$ jest równe

Rozwiąż równanie
$$3x^3 - 6x^2 - 27x + 54 = 0$$
Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
$$\dfrac{(x^2 + x)(x + 3)(x - 1)}{x^2 - 1} = 0$$
ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę $1040$ zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach $20$ zł, $50$ zł oraz $100$ zł. Banknotów $100$-złotowych było dwa razy więcej niż $50$-złotowych, a banknotów $20$-złotowych było o $2$ mniej niż $50$-złotowych.
Niech $x$ oznacza liczbę banknotów $50$-złotowych, a $y$ – liczbę banknotów $20$-złotowych, które otrzymał ten klient.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb $x$ i $y$ to

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x \in [-5, 4)$. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji $f$.
..................

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x \in [-5, 4)$. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Dla każdego argumentu z przedziału $(-4, -2)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.	P	F
2.	Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.	P	F

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x \in [-5, 4)$. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4, 0]$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są: punkt $A = (8, 11)$ oraz okrąg o równaniu $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa

Basen ma długość $25$ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1{,}2$ m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.
Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y = \begin{cases} ax + b & \text{dla } 0 \le x \le 15 \text{ m} \ 0{,}18x - 0{,}9 & \text{dla } 15 \text{ m} \le x \le 25 \text{ m} \end{cases}$$
Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek).
Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa głębokość basenu jest równa

Basen ma długość $25$ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1{,}2$ m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.
Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y = \begin{cases} ax + b & \text{dla } 0 \le x \le 15 \text{ m} \ 0{,}18x - 0{,}9 & \text{dla } 15 \text{ m} \le x \le 25 \text{ m} \end{cases}$$
Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek).
Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.
Oblicz wartość współczynnika $a$ oraz wartość współczynnika $b$.
Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x - 1)^2 + 2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x - 1)^2 + 2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \dfrac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pięćdziesiątym wyrazem ciągu $(a_n)$ jest

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \dfrac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.	P	F
2.	Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $20$.	P	F

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 3x + b$, przechodząca przez punkt $A = (-1, 3)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg $(a_n)$ jest

A.	rosnący,	ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$	1.	$a_{n+1} - a_n = -1$
B.	malejący,		2.	$a_{n+1} - a_n = 0$
C.	stały,		3.	$a_{n+1} - a_n = 3$

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Najmniejszą wartością $n$, dla której wyraz $a_n$ jest większy od $25$, jest

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $57$ dla $n$ równego

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są:
- prosta $k$ o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x + 5$
- prosta $l$ o równaniu $y - 1 = -2x$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ i $l$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $(1 - \cos 20^\circ) \cdot (1 + \cos 20^\circ) - \sin^2 20^\circ$ jest równa

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy $4 : 5$. Z pojemnika losujemy jedną kulę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ABO$ ma miarę $40^\circ$, a kąt $OBC$ ma miarę $10^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta $ACO$ jest równa

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6$, $7$ oraz $8$.
Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Zapisz obliczenia.

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$, a bok $BC$ ma długość $4{,}6$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $|AD| = 3{,}2$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $CD$ ma długość

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
- przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x) = 251x$
- koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją $K(x) = x^2 + 21x + 170$.
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków.
Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Firma $\mathcal{F}$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $\mathcal{F}$, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia miesięczna płaca brutto w firmie $\mathcal{F}$ jest równa

Firma $\mathcal{F}$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $\mathcal{F}$, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy $\mathcal{F}$ jest równa

Firma $\mathcal{F}$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $\mathcal{F}$, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba pracowników firmy $\mathcal{F}$, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa $5 000$ zł, stanowi (w zaokrągleniu do $1\%$)

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $10\sqrt{3}$, a każda jego krawędź boczna ma długość $15$.
Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Zapisz obliczenia.