Arkusz Pokazowy Matura CKE Marzec 2022 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0-3)
Dane są liczby $a = \log_{2} 3$ oraz $b = \log_{3} 7$.
Wyraź $\log_{4} 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.

Zadanie 2. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (-3, -3)$.

Zadanie 3. (0-4)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $8$.
Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność
$$\left|\dfrac{S - S_n}{S_n}\right| < 0,001$$
gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Zadanie 4. (0-5)
Dane jest równanie
$$(x - 6) \cdot \left[(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1\right] = 0$$
z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in \mathbb{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zadanie 8. (0-4)
Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$ i podstawach $AB$ oraz $CD$ takich, że $|AB| > |CD|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $AC$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy $\dfrac{d \cdot l}{2\sqrt{16d^2 - l^2}}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 9. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A = (9, 12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Prosta $k$ o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x$ zawiera dwusieczną kąta $ABC$ tego trójkąta. Okrąg $O$ o równaniu $(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 16$ jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$.

Zadanie 10. (0-6)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$.
Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^3 \cdot \sin\alpha \cdot \cos(2\alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.
Oblicz współczynnik $k$.

Zadanie 11. (0-4)
Egzamin składa się z $15$ zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej $11$ zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.
Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.