Matura CKE Czerwiec 2015 – Matematyka Rozszerzona

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_{n+1} = a_n + n - 6$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $a_3 = -1$. Wyraz $a_2$ jest równy

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji $y = -x + 1$ i $y = \log_2 x$ jest równa

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Dla dowolnego kąta $\alpha$ wartość wyrażenia $\sin \alpha + \sin(180^\circ - \alpha)$ jest równa wartości wyrażenia

Zbiór $K$ – to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, dla których wartość liczbowa wyrażenia $\sqrt{x(x^2 - 9)}$ jest liczbą rzeczywistą. Zatem

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $|x| < |x - 1025|$. W poniższe kratki wpisz – kolejno – cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Prosta o równaniu $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{61}{14}$ jest styczna od okręgu o środku $S = (1, -4)$. Wyznacz promień tego okręgu.

Niech $a = \log_{12} 2$. Wykaż, że $\log_6 64 = \dfrac{6a}{1-a}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^\circ$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^\circ$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$.
Udowodnij, że na czworokącie $CEFG$ można opisać okrąg.

Rozwiąż równanie $(4 \sin^2 x - 1) \cdot \sin x = \cos^2 x - 3 \sin^2 x$, dla $x \in (-\pi, 0)$.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $15$ i $20$ wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|BC| = a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\dfrac{2}{3}a$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $8\sqrt{3}$, jest prostopadła do ramienia $BC$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30^\circ$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4\sqrt{5}$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $SD$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{m^2 + m - 6}{m - 5} x^2 - (m - 2)x + m - 5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa $2$. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.