Matura CKE Czerwiec 2018 – Matematyka Rozszerzona

Niech $L = \log_{\sqrt{2}}{2} \cdot \log_{2}{\sqrt{3}} \cdot \log_{\sqrt{3}}{4}$. Wtedy

Okrąg o równaniu $(x-3)^2 + (y+7)^2 = 625$ jest styczny do okręgu o środku $S=(12, 5)$ i promieniu $r$. Wynika stąd, że

Liczba $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{2})^2}$ jest równa

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 1, poprowadzonej w punkcie $A = \left(6, \dfrac{36}{5}\right)$ tego wykresu.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

W trójkącie $ABC$ kąt $BAC$ jest dwa razy większy od kąta $ABC$. Wykaż, że prawdziwa jest równość $|BC|^2 - |AC|^2 = |AB| \cdot |AC|$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Udowodnij, że dla dowolnego kąta $\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ prawdziwa jest nierówność
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{12} - \alpha\right)} \cdot \cos{\left(\dfrac{\pi}{12} + \alpha\right)} < \dfrac{1}{4}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wykaż, że równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x=1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $\{0, 1, 3, 5, 7, 9\}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa $3$.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $(a, aq, aq^2)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o $4$, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_n)$ o równaniach $x^2 + y^2 = 2^{11-n}$, $n \geq 1$. Niech $P_k$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$, gdzie $k \geq 1$.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość $10$, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest $2$ razy dłuższa od podstawy $CD$. Oblicz pole tego trapezu.

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $AB$, $BC$ i $CA$ w punktach – odpowiednio – $P = (0, 10)$, $Q = (8, 6)$ i $R = (9, 13)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $A$, $B$ i $C$ tego trójkąta.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$x^2 - 3mx + (m+1)(2m-1) = 0$
ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ spełniające warunki: $x_1 \cdot x_2$
eq 0 oraz $0 < \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \leq \dfrac{2}{3}$.

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
a) Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $V$.
c) Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.