Matura CKE Czerwiec 2019 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0–1)
Parametr $m$ dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania
$$(4 - m^2) \cdot x = m^2 - 3m + 2$$
z niewiadomą $x$. Wynika stąd, że

Zadanie 2. (0–1)
Dane są trzy niewspółliniowe punkty: $A = (1, 1)$, $B = (6, 3)$, $C = (4, 5)$. Ile jest wszystkich punktów $D$ takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach $A, B, C, D$ jest równoległobokiem?

Zadanie 3. (0–1)
Wiadomo, że wielomian $15x^5 - 133x^4 + 383x^3 - 499x^2 + 146x + 120$ ma w zbiorze $\left\{\dfrac{7}{6}, \dfrac{6}{5}, \dfrac{8}{7}, \dfrac{9}{5}\right\}$ dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

Zadanie 4. (0–1)
Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony w następujący sposób: $a_1 = \dfrac{3}{5}$ oraz $a_{n+1} = \dfrac{2}{3} \cdot a_n$ dla $n \geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 5. (0–2)
W urnie znajduje się $16$ kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest $10$ kul białych i $6$ kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.
Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 6. (0–3)
Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $28$.

Zadanie 7. (0–2)
Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \dfrac{25x^2 - 9}{x^2 + 2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Oblicz wartość $f'(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu $10$.

Zadanie 8. (0–3)
Dwusieczne kątów $BAD$ i $BCD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AC$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że $|\measuredangle ABC| - |\measuredangle ADC| + 2 \cdot |\measuredangle AEC| = 360^\circ$.

Zadanie 9. (0–3)
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - 3n^4 - n + 19$ jest podzielne przez $16$.

Zadanie 10. (0–4)
Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2^\circ$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n + 2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.

Zadanie 11. (0–6)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $6$. Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie że $|BD| = |CE|$ oraz $|DE| = 4$ (zobacz rysunek).
Płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ ostrosłupa.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 12. (0–6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$4x^2 + (2 - 4m)x + m^2 - m - 2 = 0$$
ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_1, x_2$ spełniające nierówność $x_1^2 + x_2^2 \leq \dfrac{17}{4}$.

Zadanie 13. (0–6)
Punkt $A = (-2, 6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu $90$. Przekątna $BD$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x - y - 5 = 0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 14. (0–4)
Rozwiąż równanie $4\sin 7x \cos 2x = 2\sin 9x - 1$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Zadanie 15. (0–7)
Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu $18$. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_2$ i promieniu $2x$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$;
– punkty: $S$, $S_1$, $S_2$ nie leżą na jednej prostej.
Pole trójkąta o bokach $a, b, c$ można obliczyć ze wzoru Herona $P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, gdzie $p$ – jest połową obwodu trójkąta.
Zapisz pole trójkąta $S S_1 S_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.