Matura CKE Czerwiec 2021 – Matematyka Rozszerzona

Wartość wyrażenia $\left(\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 - \left(\sqrt{3} + 1\right)^2\right)^3$ jest równa

Granice $\lim_{n \to \infty} \dfrac{an^2+bn+4}{n+1}$ i $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{an^2+bn+4}$ są równe. Stąd wynika, że

Wektory $\vec{a} = [m - 2, m + 2]$ oraz $\vec{b} = [m^{1{,}5}, 2^{1{,}5}]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^3 - 7x^2 - 4x - 4$ przez dwumian $x - 2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^2 + bx + c$.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Niech $\log_2 9 = c$. Wykaż, że $\log_3 54 = \dfrac{3c+2}{c}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG \parallel EC$ oraz $FH \parallel EC$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie $2 \cos^2 x - \cos x = \sin(2x) - \sin x$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Dane są prosta $k$ o równaniu $x - 2y = 0$ i prosta $l$ o równaniu $2x + y - 1 = 0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y = x + 4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek).
Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe $\dfrac{1}{15}$. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(x - 3)(x^2 + (m - 1)x - 6m^2 + 2m) = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 0. Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą $6$. Ponadto spełnione są następujące warunki:
$\cos(\measuredangle ADB) = \dfrac{7}{8}$, $|\measuredangle BCD| = 90^\circ$ oraz $|AB| > \sqrt{15}$.
Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$.
a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $P(x) = \dfrac{x(4 - 2x)}{4 - x}$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................