Matura CKE Czerwiec 2023 – Matematyka Rozszerzona – Arkusz i Zadania

0 – 2 pktlogarytmy

Dane są liczby

a = 4^{\log_2 45}

oraz

b = \dfrac{\log_3 2023}{\log_9 2023}

Oblicz $a - b$ .

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 2.Otwarte

0 – 3 pktkombinatoryka

Wśród

n

osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te

n

osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest

12

razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych

n

osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).
Oblicz $n$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 3.Otwarte

0 – 3 pktprawdopodobienstwo

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe

0{,}1

.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 4.Otwarte

0 – 3 pktfunkcje

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 9x

dla każdego

x \in \mathbb{R}

.
Punkt

P = (x_0, 18)

należy do wykresu funkcji

f

.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 5.Dowod

0 – 3 pktalgebra

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność

a^2 + \dfrac{16}{a} \ge 12

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 6.Dowod

0 – 3 pktdowody_geometryczne

Dany jest okrąg

\mathcal{O}

. Przez punkt

A

poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

. Przez punkt

B

leżący na odcinku

AP

poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie

D

, która przecięła odcinek

AQ

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $|AQ| = 5 \cdot |BP|$ oraz $|CD| = 2 \cdot |BD|$ , to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 7.Otwarte

0 – 4 pktciagi

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2x - \dfrac{6x}{x - 1} + \dfrac{18x}{(x - 1)^2} - \dfrac{54x}{(x - 1)^3} + \ldots

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od $0$ i od $1$ ), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\dfrac{15}{2}$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 8.Otwarte

0 – 4 pkttrygonometria

Rozwiąż równanie

\sin(5x) + \cos x = 0

w zbiorze $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 9.Otwarte

0 – 4 pktanalityczna

W okrąg o równaniu

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25

wpisano trójkąt

ABC

. Bok

AB

tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu

4x - 3y + 2 = 0

. Wysokość

CD

tego trójkąta dzieli bok

AB

tak, że

|AD| = 4 \cdot |DB|

.
Oblicz pole trójkąta $ABC$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 10.Otwarte

0 – 5 pktparametr

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie

mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ , spełniające warunki:

x_1 eq 0, \quad x_2 eq 0 \quad \text{oraz} \quad \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} < 1

Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 11.Otwarte

0 – 5 pktciagi

Ciąg

(a, b, c)

jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2a, 2b, c + 1)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek

c - b = 6

Oblicz $a$ , $b$ oraz $c$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 12.Otwarte

0 – 5 pktplanimetria

Czworokąt wypukły

ABCD

jest wpisany w okrąg o promieniu

4

. Kąty

BAD

i

BCD

są proste (zobacz rysunek).

Przekątne

AC

i

BD

tego czworokąta przecinają się w punkcie

E

tak, że

|BE| = 3 \cdot |DE|

oraz

|BD| = 2 \cdot |AE|

.
Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$ . Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 13.Otwarte

0 – 6 pktoptymalizacja

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

ABCDEFGH

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

AC

i

BD

podstawy

ABCD

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

EFGH

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości $h$ i podaj dziedzinę funkcji $V(h)$ .
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.
Zapisz obliczenia.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Matura CKE Czerwiec 2023 – Matematyka Rozszerzona

Zadania z tego arkusza (13)

Chcesz przećwiczyć więcej arkuszy z przedmiotu Matematyka Rozszerzona?