Matura CKE Maj 2008 – Matematyka Rozszerzona

Wielomian $f$, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek $f(0) = 90$. Wielomian $g$ dany jest wzorem $g(x) = x^3 - 14x^2 + 63x - 90$. Wykaż, że $g(x) = -f(-x)$ dla $x \in R$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż nierówność $|x - 2| + |3x - 6| < |x|$.

Liczby $x_1 = 5 + \sqrt{23}$ i $x_2 = 5 - \sqrt{23}$ są rozwiązaniami równania $x^2 - (p^2 + q^2)x + (p + q) = 0$ z niewiadomą $x$. Oblicz wartości $p$ i $q$.

Rozwiąż równanie $4\cos^2 x = 4\sin x + 1$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Dane jest równanie $\left| \dfrac{2}{x} + 3 \right| = p$ z niewiadomą $x$. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru $p$.

Udowodnij, że jeżeli ciąg $(a, b, c)$ jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to $a = b = c$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu $y = \dfrac{1}{4}x^2 + 1$ jest równoodległy od osi $Ox$ i od punktu $F = (0, 2)$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu $(x - 16)^2 + y^2 = 4$ jest okrąg o równaniu $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 16$, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = \log_{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} (8x - x^2)$.

Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe $0,1$. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: $H$ – wysokość ostrosłupa oraz $\alpha$ – miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ($45^\circ < \alpha < 90^\circ$).
a) Wykaż, że objętość $V$ tego ostrosłupa jest równa $\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{H^3}{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}$.
b) Oblicz miarę kąta $\alpha$, dla której objętość $V$ danego ostrosłupa jest równa $\dfrac{2}{9}H^3$. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości: $|BC| = 9$, $|CA| = 12$. Na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że odcinki $BC$ i $CD$ mają równe długości. Oblicz długość odcinka $AD$.