Matura CKE Maj 2009 – Matematyka Rozszerzona

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f(x) = ax + b$ dla $x \in \mathbb{R}$.
a) Dla $a = 2008$ i $b = 2009$ zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt $P = (2009, 2009^2)$.
b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór $A = \left\{ (x, y): x \in \langle -1, 3 \rangle \text{ i } y = -\dfrac{1}{2}x + b \text{ i } b \in \langle -2, 1 \rangle \right\}$.

Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x - 1)$ otrzymujemy iloraz $Q(x) = 8x^2 + 4x - 14$ oraz resztę $R(x) = -5$. Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ dla $x \in \mathbb{R}$.
a) Oblicz $a$.
b) Narysuj wykres funkcji $g(x) = |f(x) - 2|$ i podaj wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $g(x) = m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

W skarbcu królewskim było $k$ monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił $25$ monet, a każdego następnego ranka dorzucał o $2$ monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia $50$ monet. Oblicz najmniejszą liczbę $k$, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości $k$ oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wykaż, że jeżeli $A = 3^{4\sqrt{2}+2}$ i $B = 3^{2\sqrt{2}+3}$, to $B = 9\sqrt{A}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_{2\cos x}(9 - x^2)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Ciąg $(x - 3, x + 3, 6x + 2, \dots)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że $\dfrac{S_{19}}{S_{20}} < \dfrac{1}{4}$, gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dwa okręgi o środkach $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy $3 + 2\sqrt{2}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ oraz zaznacz punkt $A = (0, -1)$. Prosta o równaniu $x = 0$ jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt $A$. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt $A$.

W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od $\dfrac{9}{22}$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość $a$ i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.