Matura CKE Maj 2015 – Matematyka Rozszerzona

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $|2x - 8| \leq 10$.
Stąd wynika, że

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem
$$f(x) = \begin{cases} x - 2 & \text{dla } x \leq 0 \\\ ||x + 3| - 4| & \text{dla } x > 0 \end{cases}$$
Równanie $f(x) = 1$ ma dokładnie

Liczba $(3 - 2\sqrt{3})^3$ jest równa

Równanie $2\sin x + 3\cos x = 6$ w przedziale $(0, 2\pi)$

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y = 2x + 4$ jest równa

Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{11n^3 + 6n + 5}{6n^3 + 1} - \dfrac{2n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4} \right)$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Liczby $(-1)$ i $3$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\dfrac{f(6)}{f(12)}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność
$$x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P, Q, R, S$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB| = 2$, $|BC| = 3$, $|CD| = 4$, $|DA| = 5$.
Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

W pierwszej urnie umieszczono $3$ kule białe i $5$ kul czarnych, a w drugiej urnie $7$ kul białych i $2$ kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y = 4x$.

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x) = (m + 1)x^2 + 2(m - 2)x - m + 4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ jest równa $0$. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej $3$.
Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie $20$.
Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.