Matura CKE Maj 2018 – Matematyka Rozszerzona

Dane są liczby: $a = \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}$, $b = \dfrac{1}{2\sqrt[4]{8}}$, $c = \sqrt[4]{8}$, $d = \dfrac{2}{\sqrt[4]{8}}$ oraz $k = 2^{-\frac{1}{4}}$. Prawdziwa jest równość

Równanie $||x| - 2| = |x| + 2$

Wartość wyrażenia $2\log_5{10} - \dfrac{1}{\log_{20}{5}}$ jest równa

Granica $\lim_{x \to 3^{-}}\dfrac{-x+2}{x^2-5x+6}$ jest równa

Punkt $A = (-5, 3)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem $f(x) = \dfrac{ax+7}{x+d}$, gdy $x$
eq -d. Oblicz iloraz $\dfrac{d}{a}$.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Styczna do paraboli o równaniu $y = \sqrt{3}x^2 - 1$ w punkcie $P = (x_0, y_0)$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^\circ$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC| > |BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^3m - km^3$ jest podzielna przez $6$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V = \dfrac{1}{3}\pi H \left(r^2 + rR + R^2\right)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ($r < R$), a $H$ jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa $10$, objętość $840\pi$, a $r = 6$. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Rozwiąż równanie $\sin{6x} + \cos{3x} = 2\sin{3x} + 1$ w przedziale $\langle 0, \pi\rangle$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + (m+1)x - m^2 + 1 = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ ($x_1$
eq x_2), spełniające warunek $x_1^3 + x_2^3 > -7x_1x_2$.

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n \geq 1$, spełniają układ równań
$\begin{cases} a_3 + a_6 = -84 \ a_4 + a_7 = 168 \end{cases}$
Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_n$ jest równa $32769$.

Punkt $A = (7, -1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^2 + y^2 = 10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa $2$.
a) Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
b) Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L(a) = \dfrac{4a^2 - 8a + 8}{a}$.
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................