Matura CKE Maj 2021 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0-1)
Różnica $\cos^2 165^\circ - \sin^2 165^\circ$ jest równa

Zadanie 2. (0-1)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Zadanie 3. (0-1)
Wielomian $W(x) = x^4 + 81$ jest podzielny przez

Zadanie 4. (0-1)
Liczba różnych pierwiastków równania $3x + |x - 4| = 0$ jest równa

Zadanie 5. (0-2)
Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty} \dfrac{(3n+2)^2 - (1-2n)^2}{(2n-1)^2}$.
W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 6. (0-3)
Niech $\log_2 18 = c$. Wykaż, że $\log_3 4 = \dfrac{4}{c-1}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 7. (0-3)
Rozwiąż nierówność:
$$\dfrac{2x - 1}{1 - x} \le \dfrac{2 + 2x}{5x}$$

Zadanie 8. (0-3)
Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty – odpowiednio – $D$ i $E$ takie, że $|BD| = |AE| = \dfrac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest $21$ razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 9. (0-4)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $15$, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez $18$.

Zadanie 10. (0-4)
Prosta przechodząca przez punkty $A = (8, -6)$ i $B = (5, 15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O = (0, 0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Zadanie 11. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy
$$4x^2 - 2(m + 1)x + m$$
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:
$$x_1$$
eq 0, \quad x_2
eq 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 + x_2 \le \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}

Zadanie 12. (0-5)
Rozwiąż równanie $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Zadanie 13. (0-4)
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Zadanie 14. (0-6)
Dane są parabola o równaniu $y = x^2$ oraz punkty $A = (0, 2)$ i $B = (1, 3)$ (zobacz rysunek).
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.
a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.
b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Zadanie 15. (0-7)
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144\,\text{m}^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $9$ metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
- $100$ zł za $1\,\text{m}^2$ dna
- $75$ zł za $1\,\text{m}^2$ ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.