Matura CKE Maj 2024 – Matematyka Rozszerzona

W chwili początkowej ($t = 0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80^\circ\text{C}$. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20^\circ\text{C}$. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
$$T(t) = (T_p - T_z) \cdot k^{-t} + T_z \quad \text{dla} \quad t \geq 0$$
gdzie:
$T$ – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_p$ – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_z$ – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ – stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65^\circ\text{C}$.
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36\% tłuszczu, jest równe $0{,}01$. Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36\% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$$f(x) = \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x}$$
dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$.
Prosta o równaniu $y = ax + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.
Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x, y$ oraz $z$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Oblicz $x, y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.
Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
$$|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \cdot |BC|$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).
Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y = x + 1$. Przez punkt $A = (1, 2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.
Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.