Matura OKE Styczeń 2010 – Matematyka Rozszerzona

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $9$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$ wyrazy ciągu $(a_n)$ spełniają dwa warunki $a_n + a_{n+1} = \dfrac{-n^2 + 3n + 17}{n^2 + 1}$ i $a_n - a_{n+1} = \dfrac{6n + 19}{n^2 + 1}$. Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Liczbę $255$ przedstaw w postaci czterech całkowitych składników tworzących rosnący ciąg geometryczny wiedząc, że trzeci wyraz tego ciągu jest o $45$ większy od wyrazu pierwszego.

Różnymi pierwiastkami równania kwadratowego $(m-2)x^2 - 2x + 1 = 0$ są liczby $x_1$ oraz $x_2$. Narysuj wykres funkcji $f(m) = |x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2|$.

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przekątna ma długość $c$, a kąt ostry miarę $2\alpha$. Pole przekroju wyznaczonego przez krawędź boczną graniastosłupa i dłuższą przekątną podstawy wynosi $P$. Oblicz długość dłuższej przekątnej graniastosłupa, wykonaj rysunek bryły i zaznacz w nim właściwy przekrój.

W czworokącie $ABCD$ przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych $P = (-3, 7)$ w taki sposób, że $|PC| : |AP| = |PD| : |BP| = 1 : 3$. Wiedząc, że $\vec{AC} = [4, 6]$ i $\vec{BD} = [-10, -2]$, oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wykaż, że cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji $f(x) = \dfrac{4}{3}x + 1$ i $g(x) = -x\sqrt{2} + 9$ jest równy $\dfrac{4\sqrt{6} - 3\sqrt{3}}{15}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Oblicz wartość funkcji $f(x) = |1 - 2^{x-3}|$ dla argumentu $x = \log_{13} \left( \log_{12}^2 8 + \log_{12} 64 \cdot \log_{12} 18 + \log_{12}^2 18 + 49^{\dfrac{1}{\log_3 7}} \right)$.

Posługując się wykresem funkcji $f(x) = \cos 2x$ dla $x \in \left(-\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)$, rozwiąż nierówność $\cos 2x < \sin \alpha$ wiedząc, że miara kąta $\alpha$ jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu opartego na $\dfrac{5}{12}$ okręgu.

Liczba uczniów w klasie jest $812$ razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które są zapisane w dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim.