Matura próbna CKE Marzec 2021 – Matematyka Rozszerzona

Liczba $\log_2 9$ jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest $10$ kul: $8$ białych i $2$ czarne, w drugiej jest $8$ kul: $5$ białych i $3$ czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Prosta dana równaniem $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x + 5$ w punkcie

Liczba $x$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $1$ i ilorazie $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Liczba $y$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $1$ i ilorazie $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
Wynika stąd, że liczba $x - y$ jest równa

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa $13$ i żadna cyfra nie jest zerem.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od $2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie:
$$\sin\left(x + \dfrac{1}{4}\pi\right) \cdot \cos\left(x + \dfrac{1}{4}\pi\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$$

Na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadrat $ABDE$ (zobacz rysunek).
Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.
Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa $\dfrac{1}{2k}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R = 5\sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość $10$. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\dfrac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2$ przez dwumiany $(x - 2)$ i $(x - 3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x - 4)$.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $4$, a wysokość graniastosłupa jest równa $6$ (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta $AFB$.

Czterowyrazowy ciąg $(a, b, c, d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg $(a + 100, b, c)$ jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu $(a, b, c, d)$.

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y = x + b$, $y = x + 2b$, $y = b$, $y = 2$, gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b$
eq 2 i $b$
eq 0.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których pole tego równoległoboku jest równe $1$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = \dfrac{9}{x^4}$ dla $x$
eq 0. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0, -\dfrac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.