Matura Próbna Styczeń 2004 – Matematyka Rozszerzona – Arkusz i Zadania

0 – 4 pktfunkcje

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

,

b

,

c

funkcja:

f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 13.Otwarte

0 – 6 pktlogarytmy

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których każda liczba spełniająca równanie:

\log_{m}^{2}(x-1)+\log_{m}(x-1)-2=0

jest mniejsza od

3

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 14.Dowod

0 – 3 pktanalityczna

Wykaż, że jeśli

a eq b

, to równanie:

x^2+y^2+ax+by+\dfrac{a \cdot b}{2}=0

jest równaniem okręgu.
Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 15.Dowod

0 – 4 pkttrygonometria

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f

określonej wzorem:

f(x)=\sin 2x+\cos(\dfrac{\pi}{6}-2x)

.
Odpowiedź uzasadnij.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 16.Otwarte

0 – 5 pktanalityczna

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę

F

, gdzie:

F=\{(x,y): x \in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \wedge 3|x|+|y| \leq 2\}

.
Oblicz pole figury

F

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 17.Otwarte

0 – 5 pktplanimetria

Odcinki o długościach:

2\sqrt{3}

,

3-\sqrt{3}

,

3\sqrt{2}

są bokami trójkąta.
a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 18.Otwarte

0 – 6 pktstereometria

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu

9

dm

^2

. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami

\dfrac{\pi}{3}

i

\dfrac{\pi}{6}

.
a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 19.Dowod

0 – 5 pktprawdopodobienstwo

W pierwszej loterii jest

n

(

n > 2

) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii

2n

losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej? Odpowiedź uzasadnij.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 20.Otwarte

0 – 7 pktciagi

Różnica ciągu arytmetycznego

(a_n)

jest liczbą mniejszą od

1

. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia

\dfrac{a_1 \cdot a_{49}}{a_{50}}

wiedząc, że

a_{51}=1

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 21.Otwarte

0 – 5 pktrownania_i_nierownosci

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie:

(5-x)^{x^3-4x^2+x+6}=1

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Matura Próbna Styczeń 2004 – Matematyka Rozszerzona

Zadania z tego arkusza (10)

Chcesz przećwiczyć więcej arkuszy z przedmiotu Matematyka Rozszerzona?