Matura SMWP Kwiecień 2025 – Matematyka Rozszerzona

Piąty wyraz rozwinięcia $(x - b)^{10}$ jest równy $53760x^6$.
Oblicz $b$. Zapisz obliczenia.

W pewnej miejscowości funkcjonują trzy ośrodki szkolenia kierowców: A, B oraz C. W 2024 roku spośród wszystkich kandydatów na kierowców, $37\%$ wybrało ośrodek A, $43\%$ kandydatów wybrało ośrodek B, natomiast reszta zapisała się do ośrodka C. Każdy z kursantów ukończył kurs i zdał prawo jazdy. Dokładnie $12\%$ kursantów z ośrodka A zdało egzamin praktyczny za pierwszym podejściem. W ośrodku B, egzamin praktyczny za drugim lub kolejnym razem zdało $91\%$ kursantów, natomiast w ośrodku C było to $93\%$ wszystkich zdających. Po zakończeniu wszystkich zdanych egzaminów wylosowano jedną osobę oraz okazało się, że zdała ona egzamin praktyczny za pierwszym podejściem.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba zapisała się do ośrodka C. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1 - 5x}{2x + 6}$ dla każdego $x \in (-3, +\infty)$.
Wykaż, że $f$ jest funkcją malejącą.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dana jest funkcja $g(x) = (16x + 2)^8$ określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji $g$ nachylonej do osi $x$ pod kątem $45^\circ$. Zapisz obliczenia.

Dany jest czworokąt $ABCD$ na którym opisano okrąg. Boki tego czworokąta spełniają zależności $|AB| = |BC| = a$ oraz $|CD| = |DA| = b$. Ponadto, przekątne $|AC|$ i $|BD|$ tego czworokąta są sobie równe.
Wykaż, że $a = b$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Trzy liczby tworzą w danej kolejności ciąg geometryczny $(a_n)$ o wszystkich wyrazach dodatnich. Jeżeli do pierwszej z tych liczb dodamy $1$ oraz od trzeciej z nich odejmiemy $12$ to również otrzymamy ciąg geometryczny. Ponadto liczby te w podanej kolejności są odpowiednio: pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(b_n)$.
Wyznacz te liczby oraz podaj iloraz ciągu geometrycznego $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Styczna $k$ do okręgu $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ jest prostopadła do prostej $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{4}$.
Oblicz pole trójkąta ograniczonego styczną $k$ oraz obiema osiami kartezjańskiego układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$, w którym kąt $ABC$ ma miarę $60^\circ$ oraz kąty $BAD$ i $ADC$ są proste. Ramię $|BC|$ trapezu ma długość $2\sqrt{3}$, a także pole trapezu $ABCD$ jest równe $\dfrac{21\sqrt{3}}{2}$. Wykonujemy obrót trapezu wokół jego krótszego ramienia oraz otrzymujemy nowo powstałą bryłę.
Oblicz objętość powstałej bryły. Zapisz obliczenia.