Próbna Matura Operon Listopad 2010 – Matematyka Rozszerzona

Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których wartość wyrażenia $\dfrac{(9x^2 - 4)(x + 1)}{3x^3 + 2x^2 - 3x - 2}$ jest liczbą całkowitą.

Wykaż, że wśród rozwiązań równania $|x + 2| - |x - 4| = 6$ istnieje takie, które jest liczbą niewymierną.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość $12$, a długość okręgu wynosi $13\pi$. Oblicz pole trapezu.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x - 1)$, $(x + 1)$, $(x + 2)$ są odpowiednio równe $1$, $-1$, $3$. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)$.

Dla jakich wartości parametru $m$ suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania $x^2 + (m - 5)x + m - 7 = 0$ jest najmniejsza?

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $60$. Wysokość jest o $2$ większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju.

Wykaż, że $\cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta) \leq 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Pole kwadratu $K$ jest równe $8$. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt $C_1$. Następnie połączono środki boków czworokąta $C_1$, tworząc czworokąt $C_2$. W podobny sposób utworzono czworokąty $C_3$, $C_4$, ...
Suma pól czworokątów $K + C_1 + C_2 + ... + C_n$ jest równa $15\dfrac{3}{4}$. Znajdź liczbę $n$.

W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o $\dfrac{13}{33}$ mniejsze od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $(2, 1)$ i promieniu $\sqrt{17}$. Punkty $A, B$ są punktami przecięcia tego okręgu z osią $OX$. Punkt $C$ leży na prostej $3x - y + 3 = 0$, a pole trójkąta $ABC$ jest równe $24$. Oblicz współrzędne punktu $C$.

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $y = f(x)$, otrzymanego z wykresu funkcji $g(x) = \sin x$ w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f(x) = -\sqrt{3}$.