Próbna Matura Operon Listopad 2011 – Matematyka Rozszerzona

Znajdź ujemny pierwiastek równania $||2x - 1| - 2| = 4$.

Prostokąt o bokach długości $a$, $b$ jest podobny do prostokąta o bokach długości $a + 5$, $b + 5$. Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dla jakich $x$ liczby $\dfrac{1}{2\operatorname{tg} x}$, $\cos x$, $\sin x$ w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Wykaż, że dla dowolnej liczby $a > 0$ zachodzi nierówność $\log^2(\pi a) + \log^2(\pi + a) \ge \dfrac{2}{\log_{\pi+a} 10} - \log_\pi \pi$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wierzchołki trójkąta równobocznego $ABC$ leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji $f(x) = x^2 - 6x$. Punkt $C$ leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa $2a$. Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa $\alpha$. Oblicz objętość graniastosłupa.

W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna $12$ spośród przygotowanych $20$ piosenek. Prowadzący przedstawia mu $4$ piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do $0{,}01$.

Oblicz, dla jakich wartości parametru $k$ punkt przecięcia prostych o równaniach $y = -x$, $y = x + k$ należy do koła o nierówności $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 \le 10$.

Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$ są liczby $-1$ i $2$. Rozwiąż nierówność $W(x) > 0$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(m - 1)x^2 + 2(m + 1)x + m + 4 = 0$ ma jedno rozwiązanie.

W trójkącie o polu $\dfrac{1}{4}ab$ dwa boki mają długości $a$ i $b$. Znajdź długość trzeciego boku.