Próbna Matura z OPERONEM – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0-1)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|3x + 6| > 6$ jest:

Zadanie 2. (0-1)
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^3 - 4x^2 - 15x - 12$ przez wielomian $P(x) = x + 3$ jest równa:

Zadanie 3. (0-1)
Liczba $\log_2 7 + \log_8 7$ jest równa:

Zadanie 4. (0-1)
Po wykonaniu działań i redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniu $W = (2x+1)^3 - (x-1)^3$ otrzymamy:

Zadanie 5. (0-1)
Dany jest okrąg o równaniu $x^2 + 10x + y^2 - 4y + 25 = 0$. Jeśli $S$ jest środkiem tego okręgu i $r$ jego promieniem, to:

Zadanie 6. (0-2)
Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym $\begin{cases} a_1 = 32 \ a_{n+1} = \dfrac{1}{7}a_n + 2 \end{cases}$.
Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0-2)
Dany jest trójkąt o boku długości $a = 4$ i kącie przyległym do tego boku $45^\circ$. Kąt leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$. Oblicz długość boku leżącego naprzeciwko kąta $45^\circ$ tego trójkąta. Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 8. (0-2)
Oblicz odległość punktu $A = (5, -6)$ od prostej $l\colon y = 2x + 1$. Podaj przybliżenie dziesiętne otrzymanego wyniku z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 9. (0-2)
Sześcian o krawędzi $a = 6$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do niej pod kątem $30^\circ$. Oblicz wysokość otrzymanego przekroju. Podaj przybliżenie otrzymanego wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku i zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 10. (0-2)
Oblicz granicę ciągu określonego wzorem ogólnym $a_n = \dfrac{(n+4)(3n^2 - 1)}{11n^3 + 5n + 2}$. Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 11. (0-3)
Rozwiąż równanie $\sin 3x + \sin 9x = 0$ dla $x \in \langle 0, \pi \rangle$.

Zadanie 12. (0-3)
Rozwiąż nierówność $x^3 - 4x^2 - 5x < 0$.

Zadanie 13. (0-3)
Wykaż, że funkcja $f(x) = \dfrac{9-x^2}{x^2-1}$ ma dokładnie jedno ekstremum lokalne i określ, czy to jest minimum czy maksimum.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 14. (0-5)
W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkową $CD$ i wyznaczono na niej taki punkt $E$, że $\dfrac{|CE|}{|ED|} = \dfrac{1}{3}$. Prosta przechodząca przez punkty $AE$ przecina bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że $\dfrac{|CP|}{|PB|} = \dfrac{1}{6}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 15. (0-5)
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $8$. Suma nieskończonego ciągu utworzonego z sześcianów wyrazów danego ciągu jest równa $\dfrac{512}{7}$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Zadanie 16. (0-4)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie dwójki i jedna jedynka.

Zadanie 17. (0-7)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym suma wszystkich krawędzi jest równa $18$. Oblicz możliwie największą objętość takiego ostrosłupa.

Zadanie 18. (0-5)
Dany jest trójmian kwadratowy $f(x) = (m-1)x^2 - (m-1)x + 2m - 3$. Wyznacz wzór funkcji $g(m)$, która każdej wartości parametru $m$ przyporządkowuje liczbę miejsc zerowych funkcji $f$. Narysuj wykres funkcji $g$.