Próbna Matura z OPERONEM – Matematyka Rozszerzona

Równanie $(x^2+2x-3)(x^2+x-m)=0$ ma cztery różne rozwiązania. Zatem zbiór wszystkich liczb $m$ to:

Liczbę naturalną $n$ można zapisać w postaci $n=x^4y^2$, gdzie $x, y$ są liczbami pierwszymi. Zatem liczba różnych dzielników naturalnych liczby $n$ jest równa:

Liczba rozwiązań równania $\sqrt{(2x^2+1)^2} = 3$ jest równa:

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-1)$ jest równa $4$, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez $(x+3)$ jest równa $(-16)$. Wynika stąd, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez $(x-1)\cdot(x+3)$ jest równa:

Jeśli w ostrosłupie czworokątnym podstawą jest kwadrat i jedna z krawędzi bocznych o długości boku tego kwadratu jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, to cosinus kąta między ścianami bocznymi nieprostopadłymi do płaszczyzny podstawy jest równy:

Liczby rzeczywiste $x, y$ spełniają równanie $2x+y-5=0$. Oblicz najmniejszą wartość wyrażenia $W = 8x^3 + y^3$. Zakoduj cyfrę dziesiątek, jedności i początkową cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Dany jest trapez $ABCD$ opisany na okręgu. Środkowa trapezu ma długość $\dfrac{2}{13}$. Oblicz obwód trapezu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Dany jest okrąg o równaniu $x^2+y^2-14x+6y+54=0$. Prosta $l$ o równaniu $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{11}{4}$ przecina ten okrąg w punktach $A, B$. Oblicz długość cięciwy $AB$. Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że nie istnieje styczna do hiperboli o równaniu $y = \dfrac{4x}{x-3}$ prostopadła do prostej $l$ o równaniu $2x+4y-1=0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+4}$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ zbieżny o pierwszym wyrazie dodatnim. Wykaż, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest większa lub równa od czterokrotności trzeciego wyrazu ciągu $(a_n)$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż nierówność $4\cos^2 2x - 3 < 0$ dla $x \in \langle 0, 2\pi \rangle$.

Wyznacz liczbę dwudziestocyfrowych liczb, których suma cyfr jest równa $4$.

Dane są punkty: $A=(-1, -2), B=(1, 4), C=(-2, -10), D=(2, 2)$. Wykaż, że odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe. Wyznacz środek jednokładności $S$ i dodatnią skalę $k$ tak, aby obrazem odcinka $AB$ w tej jednokładności był odcinek $CD$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa $a$, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $\dfrac{\alpha}{2}$. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

W urnie I jest $7$ czarnych kul, a w urnie II są $3$ czarne kule. Do tych urn wkładamy losowo w sumie $3$ kule białe. Następnie losujemy urnę i z urny jedną kulę. Oblicz, ile należy wrzucić białych kul do urny I, aby prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z losowo wybranej urny było równe $\dfrac{17}{72}$.

Dane jest równanie $x^2 + (2m+1)x - 3m^2 - \dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4} = 0$. Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru $m$, dla których to równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania mniejsze od $4$.

W okrąg o promieniu $R$ wpisano prostokąt $ABCD$. Wyznacz możliwie największe pole tego prostokąta.