Próbna Matura z Operonem – Matematyka Rozszerzona

Sprawdź, stosując odpowiednie przekształcenia, czy liczba $\sqrt{13 - 4\sqrt{3}} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}}$ jest liczbą wymierną.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $\dfrac{1}{6}n^3 + n^2 + \dfrac{11}{6}n + 1$ jest liczbą naturalną.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są ciągami arytmetycznymi określonymi dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem rosnącym, w którym iloczyn wyrazów pierwszego i piątego jest równy $65$, a suma wyrazów drugiego i szóstego wynosi $22$. Wyrazy ciągu $(b_n)$ spełniają warunki:
$b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{47} + b_{49} = 1850, b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{48} + b_{50} = 1925$.
Wyznacz wzory na $n$-ty wyraz każdego z tych ciągów i oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}$.

Wyznacz rozwiązania równania $\dfrac{\cos 2x - \cos x}{\sin\dfrac{x}{4}} = 0$, które należą do przedziału $[0, 2\pi]$.

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = 4^x - 2^{x+1} - 8$, dla $x \in [-1, 3]$.

Zbadaj, dla jakich wartości parametru $m$ funkcja o wzorze $f(x) = \dfrac{1 - 2mx^2}{x - 1}$, gdzie $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$, nie ma ekstremów.

Na rysunku przedstawiony jest czworokąt wypukły $ABCD$ o długościach boków $a, b, c$ i $d$.
Niech $P$ będzie polem tego czworokąta.
Wykaż, że $P \leq \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa $AB$ zawarta jest w prostej o równaniu $y = -x + 3$. Ramię $AC$ trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y = 2x + 6$, a do ramienia $BC$ należy punkt $D = (-1, 10)$.
Oblicz współrzędne punktów $A, B$ i $C$.

Z kawałka materiału mającego kształt prostokąta z odciętym rogiem hafciarka zamierza wyciąć prostokątną serwetkę o największej powierzchni. Wymiary kawałka materiału są podane na rysunku.
Oblicz pole powierzchni tej serwetki, wiedząc, że linie cięcia są równoległe do boków pięciokąta o długościach $5$ dm i $6$ dm.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $6$ cm, a sąsiednie ściany boczne tworzą kąt o mierze $120^{\circ}$.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Uczeń założył, że w poniedziałek, wtorek i środę rozwiąże łącznie $10$ zadań, przy czym każdego dnia wykona przynajmniej jedno zadanie. Następnie zapisał na oddzielnych kartkach wszystkie możliwości przypisania dniom konkretnych liczb zadań.
Oblicz, ile takich kartek powstało.

Badając tzw. siłę kiełkowania nasion wysiewa się ich pewną liczbę i oblicza, jaki procent ziaren wykiełkował. Przeprowadzono badania siły kiełkowania pewnego rodzaju nasion. Wyniki tych badań zamieszczono w tabeli.

Liczba wysianych nasion	$100$	$100$	$150$	$200$	$200$	$250$
Liczba nasion, które wykiełkowały	$60$	$66$	$92$	$110$	$106$	$166$

Oblicz na podstawie tabeli siłę kiełkowania tych nasion. Następnie oblicz, ile najmniej tego typu nasion trzeba wysiać, aby z prawdopodobieństwem większym od $0{,}99$ można było stwierdzić, że przynajmniej jedno z nich wykiełkuje.