Próbny Egzamin Maturalny Nowa Era Styczeń 2017 – Matematyka Rozszerzona

Dane są liczby $a = \log_{3} 5$, $b = \log_{5} 7$, $c = \log_{7} 3$. Iloczyn $abc$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{100}$ oraz $a_{n+1} = \left(\dfrac{2}{3}\right) \cdot a_n$ dla $n \geq 1$. Wówczas

Równanie $x^5 + x^3 + x = 0$

Wartość wyrażenia $2 \cos^2 15^{\circ} - 1$ jest równa

Okrąg o środku $S = (-1, 2)$ jest styczny do prostej o równaniu $3x + 4y + 5 = 0$. Promień tego okręgu jest równy

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a + b = 6$ i $a \cdot b = 2$. Oblicz wartość wyrażenia $a^3 + b^3$.
Wpisz w poniższe kratki kolejno: cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n - 1)^2}{(2n - 2)^2 + (6n + 3)^2}$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = x^2 - 120$. Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g(x) = -2 \cdot f(x + 4) - 6$.

W nieskończonym ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1 = k$, $a_2 = k - 1$, gdzie $k > 1$.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $5$. Oblicz $k$.

Rozwiąż równanie $2 \cos 2x \cos 5x = \cos 7x + \dfrac{1}{2}$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa
$$f(x) = x^2 - (4m + 2)x + 4m^2 + 4m - 3$$
ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ spełniające warunek $x_1 + x_2 = |x_1 - x_2|$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ i $z$ prawdziwa jest nierówność:
$$3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 4xy + 4xz + 4yz \geq 0$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$, gdzie $A$ to zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek na wszystkich kostkach będzie parzysta, a $B$ to zdarzenie, w którym dokładnie na jednej kostce wypadnie $6$ oczek.

Czworokąt $ABCD$ o bokach długości $|AB| = 24$, $|BC| = 20$, $|CD| = 15$ i $|AD| = 7$ wpisano w okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

Punkt $A = (0, 0)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$. Punkt $M = (8, 1)$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $N = (10, 5)$ – środkiem boku $CD$ tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołków: $B$, $C$ i $D$.

Krawędź sześcianu $ABCDEFGH$ ma długość $12$. Na krawędziach $AB$ i $BC$ wybrano takie punkty $X$ i $Y$, że $|BX| = |BY| = 8$. Przekrój tego sześcianu płaszczyzną $XYH$ jest pięciokątem $HWXYZ$ (rysunek niżej).
Oblicz obwód tego pięciokąta.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające jednocześnie dwa warunki:
• suma długości wszystkich krawędzi jest równa $52$,
• podstawą jest prostokąt o bokach $x$ i $x + 3$.
Zapisz objętość takiego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.