Próbny Egzamin Maturalny z Nową Erą 2015 – Matematyka Rozszerzona

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x^2 - x}{x + 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq -1. Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x = 1$ jest równa

Granica $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2}$ jest równa

Wartość wyrażenia $\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\dfrac{3}{4\log_5 2}}$ jest równa

Prosta o równaniu $y = -2x + 4$ tworzy z osią $Ox$ kąt rozwarty $\alpha$. Wtedy $\sin 2\alpha$ przyjmuje wartość

Prosta o równaniu $x - 2y + 7 = 0$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $S = (-2, 0)$. Wskaż równanie tego okręgu.

Zbadaj, dla jakich wartości parametru $a$ reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = a^2 x^{2015} + (8 + a^2)x^{2014} - 7a + 6$ przez dwumian $x + 1$ jest równa co najmniej $4$. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego największej spośród takich liczb $a$.

Oblicz granicę ciągu $a_n = \dfrac{2 + 5 + 8 + \dots + (3n - 1)}{(2n - 3)^2}$. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n \geq 1$, jest zbieżny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest $7$ razy większa od sumy wszystkich jego wyrazów o numerach parzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Ile jest wszystkich parzystych liczb sześciocyfrowych, do zapisu których użyto cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i w których cyfra $5$ występuje dokładnie trzy razy?

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = 2 + \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos 2x$ określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Udowodnij, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych, należącym do krzywej o równaniu $y = \sqrt{2} x^2 - 8\sqrt{2} x + 16\sqrt{2} - 2$, jest punkt $P = (4, -2)$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie równoramiennym $ABC$ o podstawie $AB$, gdzie $|AB| = a$ oraz $|AC| = |BC| = b$, poprowadzono środkową $AD$ długości $x$. Wykaż, że $x = \dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{2}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = |\log_{\dfrac{1}{2}}(x + 4)|$ i zbadaj, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $f(x) = m$ ma dwa ujemne rozwiązania.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu wielomianu $f(x) = x^3 - 3x^2 + x$, która jest prostopadła do prostej $x - 2y - 6 = 0$.

Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ losujemy bez zwracania trzy cyfry i zapisujemy je w kolejności losowania, tworząc w ten sposób liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez $3$, jeżeli wiadomo, że iloczyn pierwszej i drugiej cyfry jest równy $8$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których wierzchołek paraboli o równaniu $y = x^2 - 2kx + 2k^2 - 4k + 4$ należy do koła o środku $S = (3, 2)$ i promieniu $\sqrt{5}$.

Kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$ jest podstawą ostrosłupa $ABCDS$. Krawędź boczna $AS$ ma również długość $a$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $A$ i prostopadłą do krawędzi $CS$. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Cięciwa $PQ$ długości $8\sqrt{2}$ podzieliła koło o promieniu $4\sqrt{3}$ na dwa odcinki kołowe. W odcinek kołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne $ABC$ tak, że podstawa $AB$ jest równoległa do cięciwy $PQ$, a wierzchołek $C$ jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.