Przykładowy arkusz CKE Grudzień 2013 – Matematyka Rozszerzona

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest $5$ kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i $4$ kule czarne. W drugiej urnie są $3$ kule białe i $2$ kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \dfrac{3}{(\sqrt{2})^n}$ dla $n = 1, 2, 3, \dots$ . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Liczba $\dfrac{27^{665} \cdot \sqrt[3]{3^{-92}}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\dfrac{152}{3}}}$ jest równa

Okrąg $o_1$ ma równanie $x^2 + (y-1)^2 = 25$, a okrąg $o_2$ ma równanie $(x-1)^2 + y^2 = 9$. Określ wzajemne położenie tych okręgów.

Dla każdego $\alpha$ suma $\sin \alpha + \sin 3\alpha$ jest równa

Liczba $n$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie $2\cdot|x+57| = |x-39|$.
Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby $|n|$.

Oblicz granicę ciągu $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 - 5n + 2}{(8n+7)(n+4)}$.
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \dfrac{x-8}{x^2+6}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie $x=\dfrac{1}{2}$.
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz $\log_3 \sqrt[4]{27} - \log_3 \left(\log_3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right)$.
Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Punkty $P_1, P_2, P_3, \dots, P_{23}, P_{24}$ dzielą okrąg na $24$ równe łuki (zobacz rysunek).
Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_1P_{16}$.
Udowodnij, że $|\sphericalangle P_{16}AP_{11}| = 60^\circ$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $m$ prawdziwa jest nierówność $20x^2 - 24mx + 18m^2 \ge 4x + 12m - 5$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Prawdopodobieństwo $p_k$ otrzymania liczby $k$ jest dane wzorem: $p_k = \dfrac{1}{64} \cdot \binom{6}{k}$.
Rozważamy dwa zdarzenia:
• zdarzenie $A$ polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru $\{1, 3, 5\}$,
• zdarzenie $B$ polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru $\{2, 3, 4, 5, 6\}$.
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których prosta o równaniu $y=mx+(2m+3)$ ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie $S=(0,0)$ i promieniu $r=3$.

Dana jest parabola o równaniu $y = x^2 + 1$ i leżący na niej punkt $A$ o współrzędnej $x$ równej $3$. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie $A$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę $\alpha > 45^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Punkty $M$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$, przy czym zachodzą równości $|MB| = 2 \cdot |AM|$ oraz $|LC| = 3 \cdot |AL|$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $BL$ i $CM$. Punkt $K$ jest punktem przecięcia półprostej $AS$ z odcinkiem $BC$ (zobacz rysunek).
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $660$. Oblicz pola trójkątów: $AMS$, $ALS$, $BMS$ i $CLS$.

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej $4$.

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości $80$ cm i szerokości $50$ cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).
Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną objętość.