Lewa strona równania $1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{2n} + ... = 3$ jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $x^2$. Z warunku zbieżności mamy $x^2 < 1$. Zatem dziedziną równania jest przedział $(-1, 1)$.\n\nRównanie można zapisać w postaci $1 + x^2(1 + x^2 + x^4 + ...) = 3$. Stąd $1 + 3x^2 = 3$.\n\nPierwiastkami ostatniego równania są liczby: $x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ należące do dziedziny.\n\nOdpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby $x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.\n\nPostępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: $1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 2$.\n\n[odp_otwarta1]

Zadanie 1. Matura CKE Maj 2003

(0 - 4)

ciagi

Wybierz zadanie

Lewa strona równania

1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{2n} + ... = 3

jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie

x^2

. Z warunku zbieżności mamy

x^2 < 1

. Zatem dziedziną równania jest przedział

(-1, 1)

.
Równanie można zapisać w postaci

1 + x^2(1 + x^2 + x^4 + ...) = 3

. Stąd

1 + 3x^2 = 3

.
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby:

x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}

x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}

należące do dziedziny.
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby

x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}

x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}

.
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 2

(a_n)

a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10

n \ge 1

(27, 9, a - 1)

a

(a_n)

0

n \geq 1

a_3 = -8 \cdot a_6

(a_n)

Załóż darmowe konto, by uzyskać nielimitowany, wygodny dostęp do odpowiedzi do wszystkich zadań maturalnych!