Zadanie 11. Matura CKE Maj 2006

Sumę $S = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{3}{4 \cdot 7} + \dfrac{3}{7 \cdot 10} + \dots + \dfrac{3}{301 \cdot 304} + \dfrac{3}{304 \cdot 307}$ można obliczyć w następujący sposób:
a) sumę $S$ zapisujemy w postaci
$S = \dfrac{4 - 1}{4 \cdot 1} + \dfrac{7 - 4}{7 \cdot 4} + \dfrac{10 - 7}{10 \cdot 7} + \dots + \dfrac{304 - 301}{304 \cdot 301} + \dfrac{307 - 304}{307 \cdot 304}$
b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków
$S = \left(\dfrac{4}{4 \cdot 1} - \dfrac{1}{4 \cdot 1}\right) + \left(\dfrac{7}{7 \cdot 4} - \dfrac{4}{7 \cdot 4}\right) + \left(\dfrac{10}{10 \cdot 7} - \dfrac{7}{10 \cdot 7}\right) + \dots + \left(\dfrac{304}{304 \cdot 301} - \dfrac{301}{304 \cdot 301}\right) + \left(\dfrac{307}{307 \cdot 304} - \dfrac{304}{307 \cdot 304}\right)$
stąd $S = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}\right) + \left(\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{301} - \dfrac{1}{304}\right) + \left(\dfrac{1}{304} - \dfrac{1}{307}\right)$
więc $S = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10} + \dots + \dfrac{1}{301} - \dfrac{1}{304} + \dfrac{1}{304} - \dfrac{1}{307}$
c) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim
$S = 1 - \dfrac{1}{307} = \dfrac{306}{307}$.
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę $S_1 = \dfrac{4}{1 \cdot 5} + \dfrac{4}{5 \cdot 9} + \dfrac{4}{9 \cdot 13} + \dots + \dfrac{4}{281 \cdot 285}$.