Zadanie 31. Matura CKE Czerwiec 2025

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$.
Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja
$$P(x) = (80 - x)(120 + 5x)$$
gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \geq 0$ i $x \leq 80$.
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od krawędzi $AB$, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$ (zobacz rysunek).[img1]Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$.
Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$
• punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$
• $|CF| = \dfrac{1}{2} \cdot |EB| = x$, gdzie $x \in (0, 2)$ (zobacz rysunek).[img1]

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.
Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x \in (0, 2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.