Zadanie 15. Matura CKE Maj 2005

W dowolnym trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$ (Rys. 1)
.
Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
$$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} \quad (1)$$
oraz
$$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} \quad (2)$$
Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{MC} + \vec{AB} + \vec{BN} + \vec{CN}$$
Ponieważ $\vec{MC} = -\vec{MA}$ oraz $\vec{CN} = -\vec{BN}$, więc:
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{MA} - \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} - \vec{BN}$$
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{0} + \vec{AB} + \vec{0}$$
$$\vec{MN} = \dfrac{1}{2} \cdot \vec{AB}.$$
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująco:
odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem $\vec{MN}$ oraz wektorami $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$, wiedząc, że czworokąt $ABCD$ jest dowolnym trapezem, zaś punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami ramion $AD$ i $BC$ tego trapezu (Rys. 2)
.
Podaj interpretację otrzymanego wyniku.