Zadanie 7. Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Luty 2013

Wielomian $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ jest określony dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $(-2, -4)$ należy do wykresu wielomianu $W$. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu wielomianu $W$ w punkcie o pierwszej współrzędnej równej $2$ wynosi $23$. Ponadto, suma współczynników wielomianu $W$ jest równa $8$.
Wyznacz wzór wielomianu $W$ oraz oblicz jego wszystkie pierwiastki.
Zapisz obliczenia.

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, gdzie $a, b, c \in \mathbb{R}$. Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P = (1, 9)$.
Wyznacz wzór wielomianu $f$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x = 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................