Zadanie 14. Próbna Matura z OPERONEM Listopad 2015

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach – odpowiednio – $K$, $L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg.
Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na trójkącie $ABC$, w którym $|AB| = b$ oraz $|\sphericalangle ACB| = \alpha$ i $|\sphericalangle BAC| = 3\alpha$ opisano okrąg o promieniu $R$ (zobacz rysunek).[img1]Wykaż, że $b = R\sqrt{\dfrac{3\sin\alpha - \sin 3\alpha}{\sin\alpha}}$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^\circ$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^\circ$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$.
Udowodnij, że na czworokącie $CEFG$ można opisać okrąg.
[img1]