Matura CKE Czerwiec 2021 – Fizyka Rozszerzona

Z wieży obserwacyjnej wystrzelono małą kulkę. Prędkość $\vec{v}_0$ kulki w chwili początkowej ruchu ($t_0 = 0$) miała kierunek poziomy. Na wykresie poniżej, w układzie współrzędnych ($x, y$), przedstawiono tor lotu kulki od chwili $t_0$ aż do momentu uderzenia kulki w poziome podłoże.
Przyjmij do obliczeń przyśpieszenie ziemskie $g = 9,81 \text{ m/s}^2$. W zadaniach 1.1.–1.3. pomiń opory ruchu.

Lekki, sztywny pręt o długości $l = 50 \text{ cm}$ zamocowano na statywie tak, że może się on swobodnie obracać wokół osi przechodzącej przez jego środek. Do końców pręta zamocowano dwa małe ciężarki o masach $m_1 = 200 \text{ g}$ i $m_2 = 50 \text{ g}$ (zobacz rys. 1.). Pręt połączono z podstawą statywu za pomocą nici tak, że pozostawał on nieruchomy w pozycji poziomej. Odległość punktu mocowania nici na pręcie od osi obrotu jest równa $d = 10 \text{ cm}$.
Rysunek 1.
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• pomijamy siły oporów ruchu
• pomijamy masę pręta
• oba ciężarki traktujemy jako punkty materialne
• przyśpieszenie ziemskie wynosi $g = 9,8 \text{ m/s}^2$.

Rozważamy pewną planetę skalistą, która ma kształt kulisty oraz sferycznie symetryczny rozkład masy. Promień tej planety jest równy $R = 6000 \text{ km}$. Wartość $a_b$ przyśpieszenia, z jakim spada ciało swobodnie puszczone tuż nad powierzchnią tej planety na jej biegunie, jest o 20% większe od wartości $a_r$ przyśpieszenia w kierunku pionowym, z jakim spada ciało swobodnie puszczone tuż nad powierzchnią tej planety na jej równiku.
Przyjmij następujące założenia oraz warunki:

• wartości $a_b$ oraz $a_r$ obu przyśpieszeń określone są w nieinercjalnym układzie odniesienia związanym z powierzchnią planety
• planeta nie ma atmosfery
• bieguny planety określamy jako dwa punkty na jej powierzchni, przez które przechodzi oś obrotu planety; równik planety określamy jako okrąg na jej powierzchni, leżący w płaszczyźnie przechodzącej przez środek planety i prostopadłej do jej osi obrotu
• pomijamy wpływ ustawienia osi obrotu planety względem jej orbity (po której planeta porusza się dookoła gwiazdy macierzystej) na wartości $a_b$ oraz $a_r$.

Ciężarek o masie $m = 50 \text{ g}$ zawieszono na sprężynie w ziemskim polu grawitacyjnym. Następnie układ wprawiono w ruch drgający w kierunku pionowym. Amplitudę drgań tego ciężarka oznaczymy jako $A$ (zobacz rysunki 1.–3.).
Rysunek 1. Rysunek 2. Rysunek 3.Zależność przyśpieszenia $a$ od czasu $t$ w opisanym ruchu drgającym ciężarka przedstawiono na poniższym wykresie.
Przyjmij model zjawiska, w którym:

• pomijamy masę sprężyny
• zakładamy, że sprężyna jest idealnie sprężysta w zakresie odkształceń, którym podlega podczas opisanego ruchu drgającego
• pomijamy opory ruchu
• przyśpieszenie ziemskie wynosi $g = 9,8 \text{ m/s}^2$.

Zadanie 5. (0–4)
Satelita S początkowo krąży swobodnie (z wyłączonymi silnikami) po orbicie kołowej o promieniu $r_1 = 12\;000 \text{ km}$ dookoła pewnej planety. Promień tej planety wynosi $R = 8000 \text{ km}$, a przyśpieszenie grawitacyjne na jej powierzchni ma wartość $g_p = 25 \text{ m/s}^2$. Masa satelity wynosi $m = 400 \text{ kg}$. Planeta ma sferycznie symetryczny rozkład masy.
Oblicz minimalną pracę, jaką musi wykonać siła ciągu wytworzona przez silniki tego satelity, aby przenieść go na orbitę kołową o promieniu $r_2 = 36\;000 \text{ km}$, na której będzie poruszał się z wyłączonymi silnikami.
Pomiń zmianę masy satelity podczas działania silników odrzutowych.

Na poniższym diagramie przedstawiono wykres zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego. Te przemiany zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego S. Silnik S oddaje do otoczenia w jednym cyklu pracy ciepło równe $2640 \text{ J}$. Wartości $p_1$ i $V_1$ spełniają zależność $p_1 \cdot V_1 = 480 \text{ J}$.
Na wykresie oznaczono cztery stany gazu: $\text{G}_1$, $\text{G}_2$, $\text{G}_3$, $\text{G}_4$ (w których następuje zmiana rodzaju przemiany).

Źródło $Z$ dźwięku o częstotliwości $f_z = 1000 \text{ Hz}$ porusza się z prędkością o stałej wartości $v_z$ po okręgu o promieniu $r = 1 \text{ m}$ w płaszczyźnie poziomej. Źródło $Z$ wykonuje $n = 30$ obiegów po okręgu w czasie jednej minuty. Obserwator $O$ znajdujący się w pewnej odległości od środka $S$ okręgu odbiera dźwięki wysyłane przez źródło $Z$ i rejestruje je jako falę dźwiękową o zmieniającej się częstotliwości (w wyniku efektu Dopplera). Na rysunku poniżej przedstawiono opisaną sytuację. Składową prędkości źródła w kierunku obserwatora oznaczono przez $\vec{v}_{zo}$.
Prędkość dźwięku w powietrzu ma wartość $v_d = 340 \text{ m/s}$.
Częstotliwość $f_o$ dźwięku odbieranego przez obserwatora, w zależności od zwrotu składowej $\vec{v}_{zo}$, wyraża się wzorami:
$$f_o = f_z \cdot \dfrac{v_d}{v_d - v_{zo}} \qquad \text{lub} \qquad f_o = f_z \cdot \dfrac{v_d}{v_d + v_{zo}}$$

W celu wyznaczenia oporu wewnętrznego $R_w$ baterii o sile elektromotorycznej $U_{\text{SEM}} = 6 \text{ V}$ zbudowano obwód zasilany tą baterią. W obwodzie znajdował się opornik o oporze $R = 3,4 \; \Omega$. Do obwodu dołączono mierniki natężenia prądu i napięcia (amperomierz i woltomierz) w taki sposób, jak pokazano na rysunkach 1. i 2. Opór $R_A$ amperomierza był nieznany. Przyjmij, że opór woltomierza jest nieskończenie duży, a wskazania obu mierników są dokładne.
Po zamknięciu wyłącznika W (zobacz rysunek 2.) w obwodzie popłynął prąd elektryczny. Amperomierz wskazał wartość $I = 1,5 \text{ A}$, a woltomierz wskazał wartość $U = 0,6 \text{ V}$.
Rysunek 1. Rysunek 2.

Na dwóch przewodzących sztywnych drutach wisi poziomo miedziany pręt o masie $m = 240 \text{ g}$ i długości $l = 120 \text{ cm}$. Do końców obu drutów przyłożono stałe napięcie $U = 6 \text{ V}$. Wiszący pręt znajduje się w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym o wartości indukcji magnetycznej $B = 0,5 \text{ T}$. Wektor indukcji $\vec{B}$ tego pola jest prostopadły do płaszczyzny rysunku, ze zwrotem za tę płaszczyznę (zobacz rysunek). Całkowity opór elektryczny opisanego obwodu wynosi $R = 1,5 \; \Omega$. Elementy, na których zawieszono druty, nie przewodzą prądu.
Obszar pola magnetycznego zaznaczono na rysunku prostokątem obramowanym linią przerywaną. Na rysunku oznaczono także biegunowość napięcia („+” i „−”) oraz przyśpieszenie ziemskie $\vec{g}$. Przyjmij do obliczeń przyśpieszenie ziemskie $g = 9,81 \text{ m/s}^2$.
Pomiń wpływ pola magnetycznego pochodzącego od prądów płynących w obwodzie. Doświadczenie opisujemy w układzie inercjalnym.
Rysunek

Świecący przedmiot w kształcie strzałki o początku w punkcie $A$ i końcu w punkcie $B$ umieszczono przed zwierciadłem kulistym wklęsłym. Punkt $A$ leży na osi optycznej zwierciadła, pomiędzy powierzchnią zwierciadła a jego środkiem krzywizny $O$ (zobacz rysunek poniżej). Długość strzałki $AB$ jest mała w porównaniu do promienia krzywizny zwierciadła.
Rysunek

Zadanie 11. (0–2)
W niewielkim basenie pływa łódka, w której siedzi chłopiec. W łódce znajduje się żelazny ciężarek o masie 10 kg. W pewnej chwili chłopiec wyrzucił ciężarek z łódki do wody.
Określ, jak zmieni się poziom wody w basenie (podniesie się / nie zmieni się / obniży się) po zatonięciu wyrzuconego ciężarka. Zapisz i uzasadnij odpowiedź.
Odpowiedź: .........................
Uzasadnienie:

Zadanie 12. (0–3)
Masa jądra izotopu litu $^7_3\text{Li}$ jest równa $m_{\text{Li}} = 11,6508 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$. Masy protonu $m_p$ oraz neutronu $m_n$ wynoszą odpowiednio: $m_p = 1,6726 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$, $m_n = 1,6749 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$. Prędkość światła w próżni ma wartość $c = 2,998 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.
Oblicz najmniejszą energię, jaką należałoby dostarczyć do jądra litu $^7_3\text{Li}$, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony.

Zadanie 13. (0–1)
Jądro izotopu toru $^{232}_{90}\text{Th}$ ulega ciągowi przemian jądrowych $\alpha$ i $\beta$, w wyniku których powstaje jądro izotopu ołowiu $^{208}_{82}\text{Pb}$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Opisany proces przemian jądra toru w jądro ołowiu wymaga