Matura CKE Czerwiec 2021 – Matematyka Podstawowa

Wartość wyrażenia $\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ jest równa

Liczba $\left( 7^{\dfrac{5}{4}} \cdot 7^{\dfrac{1}{4}} \right)^{\dfrac{2}{3}}$ jest równa

Niech $\log_3 18 = c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(x - 1)^2 - (2 - x)^2$ jest równe

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0 < 7 - 3x$ oraz $7 - 3x \le 5x - 3$.

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3} + 2 = 2x - 8$ jest liczba

Równanie $\dfrac{x^2 - 7x}{x^2 - 49} = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1, 7)$.
Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = -3(x + 4)(x - 2)$ jest parabola o wierzchołku $W = (p, q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki

Informacja do zadań 11. i 12.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0, 3)$. Prosta o równaniu $x = -2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.
Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Informacja do zadań 11. i 12.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0, 3)$. Prosta o równaniu $x = -2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.
Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ wzorami:
$a_n = 20n + 3$, $\quad b_n = 2n^2 - 3$, $\quad c_n = n^2 + 10n - 2$, $\quad d_n = \dfrac{n+187}{n}$. Liczba $197$ jest dziesiątym wyrazem ciągu

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_3 = a_1 \cdot a_2$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Wtedy

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{5}$. Wtedy

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ oraz $C$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy $AOB$ ma miarę $82^\circ$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $OBC$ jest równa

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Punkty $B$ i $C$ są położone na okręgu tak, że $BC$ jest jego średnicą. Cięciwa $AB$ tworzy ze styczną kąt o mierze $40^\circ$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $ABC$ jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC| = 24$, $|BC| = 10$, $|AB| = 26$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).
Odległość $x$ punktu $P$ od przeciwprostokątnej $AB$ jest równa

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą $5$. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę $120^\circ$, a najdłuższy bok ma długość $12$ (zobacz rysunek).
Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Prosta przechodząca przez punkty $(-4, -1)$ oraz $(5, 5)$ ma równanie

Proste o równaniach $y = -\dfrac{1}{m - 2}x - 1$ i $y = \dfrac{1}{3}x + 1$ są równoległe. Wynika stąd, że

W prostokącie $ABCD$ dane są wierzchołki $C = (-3, 1)$ oraz $D = (2, 1)$. Bok $AD$ ma długość $6$. Pole tego prostokąta jest równe

Obrazem prostej o równaniu $x - 2y + 3 = 0$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest prosta o równaniu

Graniastosłup prawidłowy ma $36$ krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa $4$. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest $2$ razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera – spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o $25\%$ więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: $2$, $3x$, $3x + 2$, $3x + 4$ jest równa $\dfrac{13}{2}$. Wynika stąd, że

Rozwiąż nierówność:
$$2(x + 1)(x - 3) < x^2 - 9$$

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że $\dfrac{a+b}{2} > c$ i $\dfrac{b+c}{2} > a$, prawdziwa jest nierówność
$$\dfrac{a+c}{2} < b$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n \ge 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21} + 62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

Dany jest trapez o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o $25\%$, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość $h$ trapezu.

W trójkącie $ABC$ boki $BC$ i $AC$ są równej długości. Prosta $k$ jest prostopadła do podstawy $AB$ tego trójkąta i przecina boki $AB$ oraz $BC$ w punktach – odpowiednio – $D$ i $E$. Pole czworokąta $ADEC$ jest $17$ razy większe od pola trójkąta $BED$. Oblicz $\dfrac{|CE|}{|EB|}$.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, a cyfra jedności należy do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez $4$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y = -2x + 16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B = (3, 10)$ i $C = (-2, 3)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.