Matura CKE Maj 2003 – Matematyka Podstawowa

Lewa strona równania $1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{2n} + ... = 3$ jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $x^2$. Z warunku zbieżności mamy $x^2 < 1$. Zatem dziedziną równania jest przedział $(-1, 1)$.
Równanie można zapisać w postaci $1 + x^2(1 + x^2 + x^4 + ...) = 3$. Stąd $1 + 3x^2 = 3$.
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: $x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ należące do dziedziny.
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby $x_1 = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: $1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 2$.

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji $f$.
b) Podaj rozwiązania nierówności $f(x) \le 0$.
c) Podaj rozwiązania równania $f(x) = 3$.

Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie.
a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B (podaj wynik dokładny).
b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost wyższy od średniego?

Liczby $102, 105, 108, 111, ...$ są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Zapisz wzór ogólny na $n$-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz $a_{81}$.

Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające $8$ stopni po $15\text{ cm}$ wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu $7^{\circ}$. Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do $10\text{ cm}$.

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem
$$\begin{cases} a_1 = 1 \ a_2 = 2 \ a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \quad \text{dla } n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \end{cases}$$
Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor $\vec{u} = [2, 1]$. Wyznacz miejsce zerowe funkcji $g$.

Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa $7,5\%$ podstawy wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest równa $60\%$ przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe $1869,76\text{ zł}$. Wynik podaj w zaokrągleniu do $1\text{ grosza}$.

Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest na rysunku. Zakładamy, że kąty $ABC$ i $ECD$ są kątami prostymi.

Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z $10$ nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe $\dfrac{1}{7}$. Oblicz, ile jest losów pustych.

Podstawą prostopadłościanu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest prostokąt o bokach długości: $|AD| = 3$ i $|AB| = 6$. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą $6$. Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt $BAD_1$ jest prostokątny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................