Matura CKE Maj 2013 – Matematyka Podstawowa

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $|x+4|<5$.

Liczby $a$ i $b$ są dodatnie oraz $12\%$ liczby $a$ jest równe $15\%$ liczby $b$. Stąd wynika, że $a$ jest równe

Liczba $2\log 100 - \log_{2} 8$ jest równa

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 5x + 3y = 3 \ 8x - 6y = 48 \end{cases}$ jest para liczb

Punkt $A=(0,1)$ leży na wykresie funkcji liniowej $f(x)=(m-2)x+m-3$. Stąd wynika, że

Wierzchołkiem paraboli o równaniu $y=-3(x-2)^2+4$ jest punkt o współrzędnych

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, wyrażenie $4x^2-12x+9$ jest równe

Prosta o równaniu $y=\dfrac{2}{m}x+1$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y=-\dfrac{3}{2}x-1$. Stąd wynika, że

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y=ax+b$.
Jakie znaki mają współczynniki $a$ i $b$?

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $\dfrac{x}{2} \le \dfrac{2x}{3} + \dfrac{1}{4}$ jest

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji $y=f(x)$ określonej dla $x \in \langle -7, 4 \rangle$.
Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Ciąg $(27, 18, x+5)$ jest geometryczny. Wtedy

Ciąg $(a_n)$ określony dla $n \ge 1$ jest arytmetyczny oraz $a_3=10$ i $a_4=14$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Wartość wyrażenia $\cos^2\alpha - 2$ jest równa

Średnice $AB$ i $CD$ okręgu o środku $S$ przecinają się pod kątem $50^{\circ}$ (tak jak na rysunku).
Miara kąta $\alpha$ jest równa

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania $(x+1)(x+2)(x^2+3)=0$ jest równa

Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,-2)$ są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu $ABCD$. Obwód tego rombu jest równy

Punkt $S=(-4,7)$ jest środkiem odcinka $PQ$, gdzie $Q=(17,12)$. Zatem punkt $P$ ma współrzędne

Odległość między środkami okręgów o równaniach $(x+1)^2+(y-2)^2=9$ oraz $x^2+y^2=10$ jest równa

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o $10$ większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości $4$ i promieniu podstawy $3$ jest równe

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy $5$. Wtedy

Liczba $\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ jest równa

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: $1, 2, 3, x, 5, 8$ jest równa $4$. Wtedy

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości $7$ jest równa $28\sqrt{3}$. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Rozwiąż równanie $x^3+2x^2-8x-16=0$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2\alpha-3\cos^2\alpha$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z$ takich, że $x+y+z=0$, prawdziwa jest nierówność $xy+yz+zx \le 0$.
Możesz skorzystać z tożsamości $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x \in \langle -7, 8 \rangle$.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji $f$,
b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x) < 0$.

Rozwiąż nierówność $2x^2-7x+5 \ge 0$.

Wykaż, że liczba $6^{100}-2\cdot 6^{99}+10\cdot 6^{98}$ jest podzielna przez $17$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $ABC$. Kąt $ACS$ jest trzy razy większy od kąta $BAS$, a kąt $CBS$ jest dwa razy większy od kąta $BAS$. Oblicz kąty trójkąta $ABC$.

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $100$ cm$^2$, a jego pole powierzchni bocznej jest równe $260$ cm$^2$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości $336$ kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o $40$ minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o $9$ km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.