Matura CKE Maj 2015 – Matematyka Podstawowa

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-4 \leq x - 1 \leq 4$.

Dane są liczby $a = -\dfrac{1}{27}$, $b = \log_{\dfrac{1}{4}} 64$, $c = \log_{\dfrac{1}{3}} 27$. Iloczyn $abc$ jest równy

Kwotę $1000$ zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości $4\%$ w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości $19\%$. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

Równość $\dfrac{m}{5 - \sqrt{5}} = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{5}$ zachodzi dla

Układ równań $\begin{cases} x - y = 3 \ 2x + 0{,}5y = 4 \end{cases}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

Suma wszystkich pierwiastków równania $(x + 3)(x + 7)(x - 11) = 0$ jest równa

Równanie $\dfrac{x - 1}{x + 1} = x - 1$

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x) = (m - 1)x + 3$ leży punkt $S = (5, -2)$. Zatem

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x) = 2x + b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x) = -3x + 4$. Stąd wynika, że

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f(x) = x^2 + x + c$. Jeżeli $f(3) = 4$, to

Ile liczb całkowitych $x$ spełnia nierówność $\dfrac{2}{7} < \dfrac{x}{14} < \dfrac{4}{3}$?

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n \geq 1$, spełniony jest warunek $a_4 = 3a_1$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Tangens kąta $\alpha$ zaznaczonego na rysunku jest równy

Jeżeli $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ oraz $\operatorname{tg} \alpha = 2 \sin \alpha$, to

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o $20^{\circ}$ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

Pole rombu o obwodzie $8$ jest równe $1$. Kąt ostry tego rombu ma miarę $\alpha$. Wtedy

Prosta $l$ o równaniu $y = m^2x + 3$ jest równoległa do prostej $k$ o równaniu $y = (4m - 4)x - 3$. Zatem

Proste o równaniach: $y = 2mx - m^2 - 1$ oraz $y = 4m^2x + m^2 + 1$ są prostopadłe dla

Dane są punkty $M = (-2, 1)$ i $N = (-1, 3)$. Punkt $K$ jest środkiem odcinka $MN$. Obrazem punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $EFGHIJKL$ wierzchołki $E$, $G$, $L$ połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością $OL$ trójkąta $EGL$ i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości $6$. Objętość tego stożka jest równa

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą $8$. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Średnia arytmetyczna zestawu danych:
$2, 4, 7, 8, 9$
jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:
$2, 4, 7, 8, 9, x$.
Wynika stąd, że

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 4x > (x + 3)(x - 2)$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $4x^2 - 8xy + 5y^2 \geq 0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków – odpowiednio – $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $|BL| = \dfrac{1}{3}|BE|$ i $|DN| = \dfrac{1}{3}|DE|$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1 \colon 3$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 - 6x + 3$ w przedziale $\langle 0, 4 \rangle$.

W układzie współrzędnych są dane punkty $A = (-43, -12)$, $B = (50, 19)$. Prosta $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $P$. Oblicz pierwszą współrzędną punktu $P$.

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy $\dfrac{4}{7}$, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy $1$, to otrzymamy $\dfrac{1}{2}$. Wyznacz ten ułamek.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\dfrac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wśród $115$ osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	$76$
normalne	$41$

Uwaga! $27$ osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \geq 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $187$. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa $12$. Wyrazy $a_1$, $a_3$, $a_k$ ciągu $(a_n)$, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_n)$. Oblicz $k$.