Matura CKE Sierpień 2011 – Matematyka Podstawowa

Rozwiązaniem równania $3(2 - 3x) = x - 4$ jest:

Suma liczby $x$ i $15\%$ tej liczby jest równa $230$. Równaniem opisującym tę zależność jest

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} x + 3y = 5 \\\ 2x - y = 3 \end{cases}$ jest

Funkcja liniowa $f(x) = (m - 2)x - 11$ jest rosnąca dla

Do wykresu funkcji liniowej $f$ należą punkty $A = (1, 2)$ i $B = (-2, 5)$. Funkcja $f$ ma wzór

Punkt $A = (0, 5)$ leży na prostej $k$ prostopadłej do prostej o równaniu $y = x + 1$. Prosta $k$ ma równanie

Dla pewnych liczb $a$ i $b$ zachodzą równości: $a^2 - b^2 = 200$ i $a + b = 8$. Dla tych liczb $a$ i $b$ wartość wyrażenia $a - b$ jest równa

Liczba $|5 - 2| + |1 - 6|$ jest równa

Liczba $\log_2 4 + 2\log_3 1$ jest równa

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 - 4$ jest

Dane są wielomiany $W(x) = x^3 + 3x^2 + x - 11$ i $V(x) = x^3 + 3x^2 + 1$. Stopień wielomianu $W(x) - V(x)$ jest równy

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ mamy $a_3 = 5$ i $a_4 = 15$. Wtedy wyraz $a_5$ jest równy

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej $2$?

Dane są punkty $A = (1, -4)$ i $B = (2, 3)$. Odcinek $AB$ ma długość

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha = \cos 47^\circ$. Wtedy miara kąta $\alpha$ jest równa:

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 2n^2 - 9$ dla $n \ge 1$?

Krawędź sześcianu ma długość $9$. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $3, 1, 1, 0, x, 2$ jest równa $2$. Wtedy liczba $x$ jest równa

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez $30$ jest równe

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości $6$. Objętość tego walca jest równa

Dany jest romb o boku długości $4$ i kącie ostrym $60^\circ$. Pole tego rombu jest równe

Kula ma objętość $V = 288\pi$. Promień $r$ tej kuli jest równy

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa $90$. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Rozwiąż nierówność $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $16$, czyli $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 16$, jest podzielny przez $2^{15}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha = \dfrac{1}{4}$. Oblicz $3 + 2\operatorname{tg}^2 \alpha$.

Liczby $2x + 1$, $6$, $16x + 2$ są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$.

Na bokach trójkąta równobocznego $ABC$ (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty $ABDE$, $CBGH$ i $ACKL$. Udowodnij, że trójkąt $KGE$ jest równoboczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$ i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy $7:5$. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się $10$ kul ponumerowanych liczbami od $1$ do $10$. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.

Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa $65$ m. Boisko w drugiej szkole ma długość o $4$ m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o $8$ m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra $9$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest prostokąt $ABCD$. Krawędź boczna $DW$ jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne $AW$, $BW$ i $CW$ mają następujące długości: $|AW| = 6$, $|BW| = 9$, $|CW| = 7$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.